Формирование исходных данных к задачам
СБОРНИК ЗАДАНИЙ
ПО МАТЕМАТИКЕ
Контрольные задания и программа по курсам математики и математических методов в экономике
для студентов заочного отделения
Санкт-Петербург
Утверждены Методическим Советом СПбГУСЭ
Сборник заданий по математике. Контрольные задания и программа по курсам математики и математических методов в экономике для студентов заочного отделения. - СПб.: Изд-во СПбГУСЭ, 2005. – 28 с.
Сборник содержит задачи для контрольных работ по всем курсам математических дисциплин, предусмотренным учебными планами специальностей, и краткий перечень вопросов для подготовки к экзаменам.
Каждая контрольная работа состоит из задач одного или нескольких разделов данного сборника, выбранных в соответствии с рабочей программой.
Перечень разделов сборника, необходимых для выполнения контрольных работ по каждой специальности, сообщается студентам этой специальности в начале семестра.
Составители: канд. физ.-мат. наук, проф. С.И.Никитин;
канд. физ.-мат. наук, доц. А.Л.Пирозерский;
канд. физ.-мат. наук, доц. Н.Ю.Кропачева;
ст. преп. М.Ю.Никанорова
© Санкт-Петербургский государственный университет сервиса и экономики
2005 г.
Содержание
Требования к оформлению контрольных работ ...................................... 2
Формирование исходных данных к задачам ............................................ 2
Раздел 1. Линейная алгебра .................….............................................. 3
Раздел 2. Аналитическая геометрия ...................................................... 4
Раздел 3. Дифференциальное исчисление............................................. 5
Раздел 4. Интегральное исчисление ...................................................... 6
Раздел 5. Функции нескольких переменных ........................................ 7
Раздел 6. Двойные, тройные и криволинейные интегралы ................. 8
Раздел 7. Элементы теории поля ........................................................... 9
Раздел 8. Дифференциальные уравнения .............................................. 10
Раздел 9. Ряды .......................................................................................... 10
Раздел 10. Функции комплексного переменного ................................... 12
Раздел 11. Операционное исчисление ..................................................... 13
Раздел 12. Теория вероятностей .............................................................. 13
Раздел 13. Математическая статистика .................................................. 14
Раздел 14. Линейное программирование ................................................ 16
Раздел 15. Математические методы в экономике .................................. 18
Раздел 16. Дискретная математика .......................................................... 21
Краткое содержание (программа) курса.................................................... 22
Список учебной литературы ...................................................................... 24
Требования к оформлению контрольных работ
1. Контрольные работы следует выполнять в ученических тетрадях в клетку. На обложке необходимо указать: название института Университета; название кафедры (математики и математических методов в экономике); название и номер контрольной работы; название (номер) специальности; фамилию,имя, отчество и личный шифр студента.
2. На каждой странице надо оставить поля размером 4 см для оценки решения задач и методических указаний проверяющего работу.
3. Условия задач переписывать полностью необязательно, достаточно указать номер задачи по данному сборнику. В условия задач надо сначала подставить конкретные числовые значения параметров т и п, и только после этого приступать к их решению.
4. Задачи в контрольной работе нужно располагать в порядке возрастания номеров.
Формирование исходных данных к задачам
Каждая контрольная работа состоит из задач одного или нескольких разделов сборника.
Условия задач, входящих в контрольную работу, одинаковы для всех студентов, однако числовые данные задач зависят от личного шифра студента, выполняющего работу.
Числовых данных параметров т и п определяются по двум последним цифрам своего шифра (А — предпоследняя цифра, В — последняя цифра). Значение параметра т выбирается из таблицы 1, а значение параметра п - из таблицы 2. Эти два числа т и п и нужно подставить в условия задач контрольной работы.
Таблица 1 (выбор параметра т)
| А | ||||||||||
| т |
Таблица 2 (выбор параметра п )
| В | ||||||||||
| п |
Например, если шифр студента 1604 — 037, то А = 3, В = 7, и из таблиц находим, что т = 4, п = 2. Полученные т = 4 и п = 2 подставляются в условия всех задач контрольной работы этого студента.
Линейная алгебра
Действия с матрицами.
Выполнить действия:
а) 
; б) 
.
Вычисление определителей.
Вычислить определитель 
двумя способами:
а) по правилу «треугольников»; б) разложением по строке.
Обратная матрица.
Найти обратную матрицу к матрице 
и проверить выполнение равенства 
.
Системы линейных уравнений.
Решить систему уравнений тремя способами: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) с помощью вычисления обратной матрицы, записав систему в матричном виде 
:
Аналитическая геометрия
Прямая на плоскости.
Построить треугольник, вершины которого находятся в точках 
, 
, 
и найти:
1) координаты точки пересечения медиан;
2) длину и уравнение высоты, опущенной из вершины А;
3) площадь треугольника;
4) систему неравенств, задающих внутренность треугольника АВС.
Производные функций.
3.2.1.Найти производные 
функций:
а) 
; б) 
;
в) 
; д) 
; е) 
;
ж) 
Приложения производной.
3.3.1.С помощью методов дифференциального исчисления построить график функции 
.
Неопределенный интеграл.
4.1.1.Найти интегралы:
а) 
; б) 
; д) 
.
Несобственные интегралы.
4.2.1.Вычислить интеграл или установить его расходимость:
Двойные интегралы.
6.1.1.Изменить порядок интегрирования:
.
6.1.2.Сделать чертеж и найти объем тела, ограниченного поверхностями 
и плоскостью, проходящей через точки 
и 
.
6.1.3.Сделать чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) 
.
Тройные интегралы.
6.2.1.Найти 
, если тело V ограниченно плоскостями 
и 
.
6.2.2.Найти объем тела, ограниченного поверхностями 
.
Криволинейные интегралы.
6.3.1.Вычислить 
, где 
, 
, а контур С образован линиями 
, 
: а) непосредственно; б) по формуле Грина.
6.3.2.Вычислить 
, где контур С является одним витком винтовой линии:
.
7. Элементы теории поля.
Дифференциальные операции.
7.1.1.В точке 
составить уравнение касательной прямой и нормальной плоскости к кривой
.
7.1.2.Найти в точке 
градиент скалярного поля
.
7.1.3.Найти в точке 
дивергенцию векторного поля
.
7.1.4.Найти в точке 
ротор векторного поля
.
Дифференциальные уравнения.
Уравнения первого порядка.
8.1.1.Найти общее решение уравнения:
а) 
; б) 
; в) 
.
8.1.2.Скорость роста банковского вклада пропорциональна с коэффициентом равным 
величине вклада. Найти закон изменения величины вклада со временем, если первоначальная сумма вклада составляла 
миллионов рублей.
Системы линейных уравнений.
8.3.1.Решить систему линейных уравнений
с начальными условиями 
.
9. Ряды.
Числовые ряды.
9.1.1.Исследовать на сходимость ряды с положительными членами:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
9.1.2.Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость знакочередующиеся ряды:
а) 
; б) 
.
Степенные ряды.
9.2.1.Найти область сходимости степенного ряда:
а) 
; б) 
.
9.2.2.Разложить функцию 
в ряд Тейлора в окрестности точки х0:
а) 
; б) 
.
9.2.3.С помощью разложения в ряд вычислить приближенно с точностью 0,001 значения:
а) 
; б) 
.
Ряды Фурье.
9.3.1.Разложить функцию в ряд Фурье в указанном интервале:
а) 
в интервале 
;
б) 
в интервале 
.
в) 
в интервале 
.
Аналитические функции.
10.2.1. Показать, что функция 
аналитична.
10.2.2. Известна вещественная часть u(x,y)=m(x2-y2)+mx-ny аналитической функции f(z), (z=x+iy). Найти функцию f(z).
Ряды Тейлора и Лорана.
10.4.1. Разложить функцию 
в окрестности точки 
в ряд Тейлора и найти радиус сходимости ряда.
10.4.2. Разложить функцию 
в окрестности точки в ряд Лорана.
10.4.3. Разложить функцию 
в ряд Лорана по степеням 
и найти область сходимости ряда.
Вычеты и их приложения.
10.5.1. Определить тип особых точек функции 
и найти вычеты в конечных особых точках.
10.5.2. Вычислить с помощью вычетов 
, где контур C, заданный уравнением 
, обходится против часовой стрелки.
Операционное исчисление.
Случайные события.
12.1.1. В коробке находятся m+2 синих, n+3 красных и 2n+1 зеленых карандашей. Одновременно вынимают m+3n+2 карандашей. Найти вероятность того, что среди них будет m+1 синих и n+1 красных.
12.1.2. В первой урне находятся m+2 шаров белого и n шаров черного цвета, во второй — m+n белого и m синего, в третьей — n+3 белого и m+1 красного цвета. Из первой и второй урны наудачу извлекают по одному шару и кладут в третью. После этого из третьей вынимают один шар. Найти вероятность того, что он окажется белым.
12.1.3. Вероятность попадания стрелка в мишень при одном выстреле равна 
. Производится n+4 выстрела. Найти вероятность того, что он промахнется не более двух раз.
Случайные величины.
12.2.1. Случайная величина Х равна числу появлений «герба» в серии из n+3 бросаний монеты. Найти закон распределения и функцию распределения F(x) этой случайной величины; вычислить ее математическое ожидание MXи дисперсию DX; построить график F(x).
12.2.2. Закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид:
| xi | -2 | -1 | m | m+n | |
| pi | 0,2 | 0,1 | 0,2 | p4 | p5 |
Найти вероятности p4, p5, и дисперсию DX, если математическое ожидание MX=-0,5+0,5m+0,1n.
12.2.3. Плотность распределения непрерывной случайной величины X имеет вид:
Найти:
а) параметр а; б) функцию распределения 
;
в) вероятность попадания случайной величины X в интервал
;
г) математическое ожидание MX и дисперсию DX.
Построить график функций и .
12.2.4. Случайные величины 
имеют равномерное, пуассоновское и показательное распределения соответственно. Известно, что математические ожидания Mξi=m+n, а дисперсия Dξ1=n2/3. Найти вероятности: а) 
; б) 
; в) 
.
Задание 13.1.
13.1.1. Постройте статистический ряд распределения предприятий по сумме прибыли, образовав пять групп с равными интервалами. Постройте графики ряда распределения.
13.1.2. Рассчитайте числовые характеристики ряда распределения предприятий по сумме прибыли: среднюю арифметическую 
, среднее квадратическое отклонение 
, дисперсию, коэффициент вариации V. Сделайте выводы.
Задание 13.2.
13.2.1. Определите границы, в которых с вероятностью 0,997 заключена сумма прибыли одного предприятия в генеральной совокупности.
13.2.2. Используя c2-критерий Пирсона, при уровне значимости 
проверить гипотезу о том, что случайная величина X – сумма прибыли – распределена по нормальному закону.
Задание 13.3.
13.3.1. Установите наличие и характер корреляционной связи между стоимостью произведённой продукции (X) и суммой прибыли на одно предприятие (Y). Постройте диаграмму рассеяния и линию регрессии.
13.3.2. Определите коэффициенты выборочного уравнения регрессии 
.
13.3.3. Рассчитайте линейный коэффициент корреляции. Используя t-критерий Стьюдента, проверьте значимость коэффициента корреляции. Сделайте вывод о тесноте связи между факторами X и Y, используя шкалу Чеддока.
При расчетах целесообразно использовать стандартные математические пакеты для персональных компьютеров.
Линейное программирование.
Транспортная задача.
На трех складах 
, 
и 
хранится 
, 
и 
единиц одного и того же груза. Этот груз требуется доставить трем потребителям 
, 
и 
, заказы которых составляют 
, 
и 
единиц груза соответственно. Стоимость перевозок 
единицы груза с 
-го склада 
-му потребителю указаны в правых верхних углах соответствующих клеток транспортной таблицы:
 потребности запасы | | | | |
| | | | ||
| | |  4 | 2 |  |
| | |  |  5 |  3 |
| | | 1 |   | 6 |
14.2.1. Сравнивая суммарный запас 
и суммарную потребность 
в грузе, установить, является ли модель транспортной задачи, заданная этой таблицей, открытой или закрытой. Если модель является открытой, то ее необходимо закрыть, добавив фиктивный склад 
с запасом 
в случае 
или фиктивного потребителя 
с потребностью 
в случае 
и положив соответствующие им тарифы перевозок нулевыми.
14.2.2. Составить первоначальный план перевозок. (Рекомендуется воспользоваться методом наименьшей стоимости.)
14.2.3. Проверить, является ли первоначальный план оптимальным в смысле суммарной стоимости перевозок, и если это так, то составить оптимальный план
,
обеспечивающий минимальную стоимость перевозок 
. Найти эту стоимость. (Рекомендуется воспользоваться методом потенциалов.)
Матричные игры.
14.3.1. Игра 
задана матрицей
Найти вероятности применения стратегий 1-м и 2-м игроком для получения цены игры. (Задачу решить аналитическим методом.)
14.3.2. Игра задана матрицами
для - четного
и
для - нечетного.
Применяя графический метод, найти смешанные оптимальные стратегии обоих игроков и определить цену игры.
Дискретная математика.
Двоичная система счисления.
16.1.1. Записать число 
в двоичной системе счисления.
Например: 
16.1.2. Определить четырехзначное двоичное число 
своего задания. Для этого необходимо взять последние 4 цифры полученного в задаче 16.1.1. двоичного числа. Если в нем меньше четырех цифр, то слева нужно дописать нули.
Так: 
,
Логика высказываний.
Пусть 
принимает значения 0 либо 1 ( = 1, 2, 3, 4). Положим
По четырехзначному двоичному числу 
, полученному в задаче 16.1.2, составьте формулу логики высказываний
для своего задания. Так, например, двоичному числу 0110 (где 
) соответствует формула 
, а двоичному числу 1010 - формула 
. Для полученной формулы:
16.2.1. Найти таблицу истинности.
16.2.2. Определить, эквивалентны ли она и формула 
.
16.2.3. Найти совершенную дизъюнктивную нормальную форму и совершенную конъюнктивную нормальную форму:
а) табличным методом, б) непосредственным преобразованием.
16.2.4 Составить минимальную релейно-контактную схему, приведя формулу к минимальной дизъюнктивной форме.
Краткое содержание (программа) курса
I. Линейная алгебра.
Матрицы, действия над ними. Определители, их свойства и вычисление. Обратная матрица. Системы линейных уравнений, условие их совместности. Формулы Крамера, метод Гаусса и матричный способ решения систем. Линейный оператор. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.
Аналитичеcкая геометрия.
Простейшие задачи аналитической геометрии (расстояние между точками, деление отрезка в заданном отношении). Прямая на плоскости, различные виды ее уравнений, угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Геометрический смысл линейных уравнений и неравенств. Кривые второго порядка, их канонические уравнения.
Векторы, линейные операции над ними. Координаты вектора, его длина, направляющие косинусы. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, условия их перпендикулярности, коллинеарности, компланарности.
Плоскость в пространстве, ее уравнения, угол между плоскостями, расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве, ее общие и канонические уравнения. Угол между прямой и плоскостью.
Интегральное исчисление.
Неопределенный интеграл, его основные свойства. Таблица интегралов. Интегрирование подстановкой и по частям. Интегрирование дробно-рациональных, тригонометрических и иррациональных функций.
Интегральная сумма. Определенный интеграл, его геометрический смысл. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле. Несобственные интегралы. Приложения определенного интеграла.
Использование понятия определенного интеграла в экономике.
Элементы теории поля.
Поверхностные интегралы. Поток векторное поля через ориентированную поверхность, его физический смысл. Дивергенция векторного поля, свойства. Теорема Остроградского. Линейный интеграл. Циркуляция векторного поля. Ротор (вихрь) векторного поля, свойства ротора. Теорема Стокса. Потенциальное поле. Потенциал. Соленоидальное поле.
Список учебной литературы
1. И.Л.Акулич. Математическое программирование в примерах и задачах.—М.: Высшая школа, 1986.
2. И.П.Алдохин. Теория массового обслуживания в промышленности.— М.: Экономика,1980.
3. Я.С.Бугров, С.М.Никольский. Дифференциальное и интегральное исчисления.—М.: Наука, 1990.
4. Я.С.Бугров, С.М.Никольский. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного.— М: Наука, 1988.
5. Я.С.Бугров, С.М.Никольский. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.—М.: Наука, 1990.
6. Е.С.Вентцель. Прикладные задачи теории вероятностей.—М.:Наука,1984.
7. В.Е.Гмурман. Курс теории вероятностей и математической статистики.—М.: Высшая школа, 1980.
8. В.Е.Гмурман. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.—М.: Высшая школа, 1980.
9. П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. Том 1,2.—М.: Высшая школа, 2000.
10. Н.В.Ефимов. Краткий курс аналитической геометрии.—М.: Наука, 1980.
11. В.А.Ильин, Э.Г.Позняк. Линейная алгебра.—М.: Наука, 1974.
12. М.Л.Краснов, А.И.Киселев, Г.Н. Макаренко. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости.— М.: Наука, 1981.
13. Ю.Н.Кузнецов, В.И.Кузубов, А.Б.Велощенко. Математическое программирование.—М.: Высшая школа, 1980.
14. А.И.Ларионов, Т.И.Юрченко, А.Л.Новоселов. Экономико—математические методы-—М.: Высшая школа, 1991.
15. Н.С.Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления Том 1,2.— М.: Наука, 1988.
16. П.Н.Романовский. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа.—М.: Наука, 1986.
17. А.Г.Свешников, А.Н.Тихонов. Теория функций комплексного переменного.—М.: Наука, 1984.
18. Л.Л.Терехов. Экономико—математические методы.—М.: Статистика, 1982.
СБОРНИК ЗАДАНИЙ
ПО МАТЕМАТИКЕ
Контрольные задания и программа по курсам математики и математических методов в экономике
для студентов заочного отделения
Санкт-Петербург
Утверждены Методическим Советом СПбГУСЭ
Сборник заданий по математике. Контрольные задания и программа по курсам математики и математических методов в экономике для студентов заочного отделения. - СПб.: Изд-во СПбГУСЭ, 2005. – 28 с.
Сборник содержит задачи для контрольных работ по всем курсам математических дисциплин, предусмотренным учебными планами специальностей, и краткий перечень вопросов для подготовки к экзаменам.
Каждая контрольная работа состоит из задач одного или нескольких разделов данного сборника, выбранных в соответствии с рабочей программой.
Перечень разделов сборника, необходимых для выполнения контрольных работ по каждой специальности, сообщается студентам этой специальности в начале семестра.
Составители: канд. физ.-мат. наук, проф. С.И.Никитин;
канд. физ.-мат. наук, доц. А.Л.Пирозерский;
канд. физ.-мат. наук, доц. Н.Ю.Кропачева;
ст. преп. М.Ю.Никанорова
© Санкт-Петербургский государственный университет сервиса и экономики
2005 г.
Содержание
Требования к оформлению контрольных работ ...................................... 2
Формирование исходных данных к задачам ............................................ 2
Раздел 1. Линейная алгебра .................….............................................. 3
Раздел 2. Аналитическая геометрия ...................................................... 4
Раздел 3. Дифференциальное исчисление............................................. 5
Раздел 4. Интегральное исчисление ...................................................... 6
Раздел 5. Функции нескольких переменных ........................................ 7
Раздел 6. Двойные, тройные и криволинейные интегралы ................. 8
Раздел 7. Элементы теории поля ........................................................... 9
Раздел 8. Дифференциальные уравнения .............................................. 10
Раздел 9. Ряды .......................................................................................... 10
Раздел 10. Функции комплексного переменного ................................... 12
Раздел 11. Операционное исчисление ..................................................... 13
Раздел 12. Теория вероятностей .............................................................. 13
Раздел 13. Математическая статистика .................................................. 14
Раздел 14. Линейное программирование ................................................ 16
Раздел 15. Математические методы в экономике .................................. 18
Раздел 16. Дискретная математика .......................................................... 21
Краткое содержание (программа) курса.................................................... 22
Список учебной литературы ...................................................................... 24
Требования к оформлению контрольных работ
1. Контрольные работы следует выполнять в ученических тетрадях в клетку. На обложке необходимо указать: название института Университета; название кафедры (математики и математических методов в экономике); название и номер контрольной работы; название (номер) специальности; фамилию,имя, отчество и личный шифр студента.
2. На каждой странице надо оставить поля размером 4 см для оценки решения задач и методических указаний проверяющего работу.
3. Условия задач переписывать полностью необязательно, достаточно указать номер задачи по данному сборнику. В условия задач надо сначала подставить конкретные числовые значения параметров т и п, и только после этого приступать к их решению.
4. Задачи в контрольной работе нужно располагать в порядке возрастания номеров.
Формирование исходных данных к задачам
Каждая контрольная работа состоит из задач одного или нескольких разделов сборника.
Условия задач, входящих в контрольную работу, одинаковы для всех студентов, однако числовые данные задач зависят от личного шифра студента, выполняющего работу.
Числовых данных параметров т и п определяются по двум последним цифрам своего шифра (А — предпоследняя цифра, В — последняя цифра). Значение параметра т выбирается из таблицы 1, а значение параметра п - из таблицы 2. Эти два числа т и п и нужно подставить в условия задач контрольной работы.
Таблица 1 (выбор параметра т)
| А | ||||||||||
| т |
Таблица 2 (выбор параметра п )
| В | ||||||||||
| п |
Например, если шифр студента 1604 — 037, то А = 3, В = 7, и из таблиц находим, что т = 4, п = 2. Полученные т = 4 и п = 2 подставляются в условия всех задач контрольной работы этого студента.
Линейная алгебра
Действия с матрицами.
Выполнить действия:
а) ; б) .
Вычисление определителей.
Вычислить определитель двумя способами:
а) по правилу «треугольников»; б) разложением по строке.
Обратная матрица.
Найти обратную матрицу к матрице и проверить выполнение равенства .
Системы линейных уравнений.
Решить систему уравнений тремя способами: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) с помощью вычисления обратной матрицы, записав систему в матричном виде :