Статистическое определение вероятности

Если при увеличении числа опытов относительная частота события стремится к некоторому фиксированному числу, то говорят, что событие А стохастически устойчиво, а это число обозначают и называют вероятностью события А.

Классическое определение вероятности

Рассмотрим стохастический эксперимент, пространство элементарных событий которого состоит из конечного числа элементов (исходов), все эти элементарные события равновозможны, т.е.

.

Пусть событию А благоприятствует элементарных событий (благоприятных исходов). Вероятность случайного события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих А, к общему числу исходов

.

Свойства вероятности:

1) ;

2) ;

3) если события А и В несовместны ( ), то .

При подсчете числа исходов часто используются формулы и правила комбинаторики.

Перестановки – это комбинации, составленные из различных элементов, которые отличаются только порядком следования элементов. Число перестановок в совокупности из элементов вычисляется по формуле

.

Пример 1.

Сколькими способами можно рассадить 5 студентов в одном ряду.

Решение.

Поскольку в “пересадке” участвуют все 5 студентов, то , т.е. существует всего 120 способов.

Сочетания – это комбинации, составленные из элементов по элементов, которые различаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний из элементов по элементов находится по формуле

.

Пример 2.

Сколько билетов можно составить из 25 вопросов, если билет содержит 3 вопроса.

Решение.

В билет произвольным образом отбирается 3 вопроса из списка в 25 вопросов, при этом порядок следования вопросов также произвольный, поэтому

,

т.о. можно составить 300 билетов.

Размешения– это комбинации, составленные из элементов по элементов, которые отличаются составом элементов или порядком следования элементов. Число размещений из элементов по элементов находится по формуле

.

Пример 3.

Сколько сигналов можно подать, вывешивая по 3 флага на мачте, если всего имеют 4 флага (белый, красный, синий, зеленый).

Решение.

Из 4-х различных по цвету флагов выбирают 3 флага, при этом, меняя последовательность следования флагов различных по цвету (например, красный-белый-зеленый и белый-красный-зеленый) передают различные сигналы, т.е. важен и состав и порядок расположения элементов, тогда , следовательно, используя только 3 флага из 4, можно передать 24 сигнала.

Правило суммы. Если объект А может быть выбран из совокупности объектов способами, а объект В - способами, то выбрать либо объект А, либо объект В можно способами.

Пример 4.

В вазе 5 груш и 4 яблока ( объект А- груша, объект В- яблоко). Сколько существует способов выбрать один из фруктов.

Решение.

Существует 5 способов выбрать грушу и 4 способа выбрать яблоко, поэтому выбрать либо грушу, либо яблоко можно 9 способами.

Правило произведения. Если объект А может быть выбран из совокупности объектов способами, а объект В - способами, то выбрать совокупность объектов (АВ) можно способами.

Пример 5.

В вазе 5 груш и 4 яблока. Выбрать одновременно грушу и яблоко (совокупность объектов (АВ)) можно способами.

Пример 6.

В ящике 50 деталей, из них 4 детали бракованных. Из ящика берут 10 деталей произвольным образом. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей: а) нет бракованных; б) две бракованных детали.

Решение.

Задача по классическому определению вероятностей .

а) Из 50 деталей случайным образом отбираются 10 деталей, очевидно, что

.

Так как в 10 отобранных деталей не попадает ни одной бракованной, то

.

.

б) Общее число исходов не меняется . Число исходов, при которых среди 10 отобранных деталей 2 бракованных, равно .

Пример 7.

Среди K поставленных единиц данного товара L не удовлетворяют предъявляемым условиям. Найти вероятность того, что среди k ( k K) отобранных для выборочного контроля качества, ровно l (l L) не будут удовлетворять этим требованиям.

Решение.

Опыт заключается в случайном отборе k образцов из K единиц данного товара. Общее число исходов равновозможных испытаний равно . Событие А состоит в том, что из k отобранных ровно l будут удовлетворять указанным требованиям. Число вариантов отбора качественных образцов равно , число вариантов отбора некачественных образцов равно , число исходов, благоприятствующих событию А, согласно правилу произведения равно . Искомая вероятность определяется по формуле .

Геометрическая вероятность

Пусть на отрезок случайным образом бросают точку. Пространство элементарных событий в этом эксперименте – все точки отрезка . Поскольку множество элементарных равновозможных событий несчетно, то вероятность попадания в указанную точку отрезка . Рассмотрим событие А, соответствующее попаданию брошенной точки на отрезок , . Очевидно, что вероятность события А пропорциональна длине отрезка

.

Коэффициент найдем из условия нормировки

, следовательно .

В общем случае геометрическая вероятность находится по формуле

,

где в знаменателе мера всей фигуры, в числителе мера части фигуры, на которую бросается точка.

Пример 8.

Даны две концентрические окружности, радиусы которых и ( ), соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения.

Решение.

Площадь большого круга равна

,

площадь кольца

.

По формуле геометрической вероятности находим

.

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ