Обратные тригонометрические функции (Определение, свойства, табличные значения)

Арккосинус

Определение: Арккосинусом числа a (arccos a), где a , называется такое число t на окружности (или угол) t , косинус которого равен числу a

arccosa t

cos t a

0

Свойство арккосинуса:

arccos(-a) -arccosa

Функция не является ни четной, ни нечётной

Табличные значения арккосинуса

	-1				0				1
t=arccosa									0

Арксинус

Определение: Арксинусом числа a(arcsina), где -1 a 1, называется такое число t на окружности (или угол) t синус которого равен числу a

arcsina=t

sin t a

Свойство арксинуса:

arcsin(-a)= arcsina

Функция не чётная

	-1				0				1
t=arcsina					0

Табличные значения арксинуса

Арктангенс

Определение: Арктангенсом числа a (arctga), где a-любое действительное число на линии tg, называется такое число t на окружности из интервала , тангенс которого равен числу a

arctga=t a-любое

tg t a

Свойство арктангенса:

arctg(-a)= arctga

Функция не чётная

Табличные значения арктангенса

				0
t=arctga				0

Арккотангенс

Определение: Арккотангенсом числа a (arcctga), где a-любое действительное число, называется такое число t на окружности (или угол), котангенс которого равен числу a

arcctga t

ctg t a

0<t<

t (0; )

Свойство арккотангенса:

arcctg(-a)= -arcctga

Функция не является не чётной, ни не чётной

Табличные значения арккотангенса

				0
t arctga

Вывод формул обратных

Тригонометрических функций.

arccos(-a) arccosa arcsin(-a) arcsina arctg(-a) arctga arcctg(-a) arcctga

Основные тригонометрические формулы (зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента, суммы и разности аргументов, двойного аргументов, понижения степени, суммы и разности тригонометрических функций, формулы приведения).

Зависимость между тригонометрическими

Функциями одного и того же аргумента

(1) - Основное тригонометрическое тождество

cos t

(2)

sin t

(3)

:

Одновременно sint и cost не могут быть равны, допустим, что cost не равен нулю

, значит обе части равенства можно разделить на :

1+

(4)

, значит обе части равенства можно разделить на

(5)

и

(6)

(7)

(8)

Формулы суммы и разности аргументов.

(1) sin (

(5) tg (

(6) tg (

(2) sin (

(3) cos (

(7) ctg (

(8) ctg (

(4) cos (

Формулы двойного аргумента.

(1) sin

(2) cos

(3) tg2

Вывод формул понижения степени.

cos

1 cos2

1 cos2

(4) 1

Выразим - Формула понижения степени

cos

cos2 =

1 cos2

1 cos2

1 cos2

1 cos2

(5)

sin

Из формул с 1 по 3 заменим , получим 6 формулу

Формулы половинных углов

(6) sin

(7) cos

(8) tg

Формулы суммы и разности

тригонометрических функций.

Формулы сложения тригонометрических функций позволяют преобразовывать сумму и разность функций в произведение этих функций.

cos

sin

sin

cos

Формулы приведения.

Значения тригонометрических функций острых углов вычисляют по таблице, либо по модели числовая окружность.

Значения функций любых углов можно вычислить с помощью формул приведения к острому углу. Формул приведения много, поэтому лучше запомнить правило написаний этих формул, а не сами формулы.

ПРАВИЛО НАПИСАНИЯ ФОРМУЛ ПРИВЕДЕНИЯ:

1) Если под знаком тригонометрической функции содержится ( , или ( , то наименование функции нужно изменить на родственное (sin cos ; tg ctg)

2) Если под знаком тригонометрической функции содержится ( то наименование тригонометрической функции менять не нужно.

3)Перед полученной функцией от аргумента t нужно поставить тот знак, которая имела бы преобразуемая функция при условии, что

0<t< (0 < <90

1) sin ( 17) tg (

2) sin ( 18) tg (

3) sin ( 19) tg (

4) sin 20) tg

5) sin ( 21) tg (

6) sin 22) tg

7) sin 23) tg

8) sin 24) tg

9) cos ( 25) ctg (

10) cos ( 26) ctg (

11) cos ( 27) ctg (

12) cos 28) ctg

13) cos ( 29) ctg (

14) cos 30) ctg

15) cos 31) ctg

16) cos 32) ctg

6.Решение уравнения sinx=a.

(вывод формул корней уравнения sint=a)

Если то уравнение sin =a имеет корни, если то уравнение корней не имеет. Например:

sint = 2

2 нет корней

sint = -1,8

|-1,8|=1,8 нет корней

Вывод формул корней

a

0;

t= arcsina+ k

Вывод: Уравнение sint a имеет две серии решений: (1)

arcsina

(2)

Эти две формулы объединим в одну:

t k

(1) t

при любом k

(2) t

t = k

Формула корней уравнения sin t=a

Свойство:

(1) формула

(2) формула

Три частных случая:

1) sint t

2) sint t

3) sin t

Например, Решить уравнение

sint

t

t

7.Решение уравнения cosx=a

(Вывод формул корней уравнения cost=a)

Решить тригонометрическое уравнение cost=a, значит найти все числа t на окружности cos, которых равен числу a.

y

a

x |a| 1

Если |a| то тригонометрическое уравнение cos t=a имеет корни.

Если |a| то тригонометрическое уравнение cos t=a не имеет решений.

cos t 1,5 нет корней

cos t | | нет корней

y Вывод формул корней

a

(k

x

1

Вывод: Уравнение cost=a имеет две серии решений:

t= k

t= (k , которые можно объединить в одну формулу

Формула корней уравнения cost=a

Свойство:

Но в трёх частных случаев предпочитают пользоваться не формулой корней, а более простыми соотношениями:

1) cos t t

2) cos t t

3) cos t t

Например, Решить уравнение

cos t

|a| нет корней

8.Решение уравнения tgx=a.

(Вывод формулы корней уравненияtgt=a),

y где a-любое действительное число на линии tg.

tg

a +

t=arctga

x

Формула корней уравненияtgt a:

Свойство:

Частных случаев нет!

Например, Решить уравнение:

tgt=1,5

t=arctg1,5

9.Решение уравнения ctg=a.

(Вывод формулы корней уравнения ctgt=a),

Где a-любое действительное число на линии ctg

y

ctgt 0 a ctgt

arcctga

x

arcctga+

t

Формула корней уравнения ctgt=a

arcctg(-a)

Свойство:

Например, Решить уравнение:

ctgt

t

tgt

0

ctgt 1 ctgt

x

0;2