Совместность и несовместность событий. Несовместность в совокупности.

Пусть даны два события A и B. Они несовместны, если их произведение есть невозможное событие.

Пусть дана система событий {A₁, A₂, ..., A_n} будем говорить, что события этой системы попарно несовместны, если для любых i,k: A_i•A_k=Ø; i≠k

Пусть дана системы событий. Будем говорить, что она несовместима в совокупности, если произведение A₁•A₂•...•A_n=Ø

Модель классической вероятности. Свойства классической вероятности.

Пусть дано пространство Ω и функция p: пространство вещественных чисел

Ω: p: ΩàR Ω={w₁…w_n}

Свойства:

1. p(w_i)≥0 любое w_i?Ω

2. p(w₁)+…+p(w_n)=1

Свойства:

1. Вероятность достоверного

p(Ω)=cardΩ/cardΩ=1

2. Вероятность не возможного

p(Ø)=cardØ/cardΩ=0/cardΩ=0

3. Два не совместных события

AB=Ø

à p(AB)=card(A+B)/cardΩ=cardA/cardΩ+cardB/cardΩ=p(A)+p(B)

4. Два совместных события

AB=Ø

p(A+B)=card(A+B)/cardΩ=cardA+cardB-cardAB / cardΩ=p(A)+p(B)-p(AB)

5. Событие A инициазирует событие B

AсB à p(A)≤p(B)

6. Следует из предыдущих свойств

p(A)?[0,1]

7. p(Ā)=1-p(A)

Элементы комбинаторики - перестановки, сочетание, размещение

Количество всех возможных перестановок набора из n элементов - n-факториал.

Пусть дан набор из n элементов, то поднаборы из m элементов выбраны из исходных n и отличающиеся между собой только составом элементов, называют сочетаниями из n по m:

Пусть дан набор из n элементов, то поднаборы из m элементов, взятые из исходных n, отличающиеся между собой не только составом, но и порядком внутри, называют размещения ми из n по m:

Формулировка теоремы о смесях и комбинациях.

Теорема о комбинации

Пусть даны следующие наборы:

A₁={a₁₁,a₁₂…a_1n1}

A₂={a₂₁,a₂₂…a_2n2}

.

.

.

A_n={a_n1,a_n2…a_nnn}

Выберем из каждого набора по одному представителю, то новый набор A*={a_1i1, a_2i2, …, a_kik}, то число всех возможных наборов будет равно произведению мощностей всех наборов n₁•n₂•...•n_k

Теорема о смесях

Дано: N элементов и пусть M из этих элементов обладают некоторым свойством. Выбираем n-элементов, то вероятность, что m из них обладают свойством M равна:

Геометрическая вероятность. Примеры.

Если вероятность попадания случайно брошенной материальной точки на некоторый объект qсΩ не зависит от расположения области q в Ω, а определяется только ее мерой, то такая вероятность называется геометрической и определяется:

Независимые события. Попарная независимость и независимость в совокупности.

Событие A не зависит от события B, если выполнено P(A/B)=P(A)

События A и B называются независимыми, если P(AB)=P(A)•P(B )

Если взята пара индексов и выполнено для нее условие независимости, то исходный набор называется попарно независимым.

Пусть дана система событий {A₁,A₂…An} и дан некоторый набор индексов 1≤i₁<i₂<…<i_k≤n, то система независима в совокупности, если для любого поднабора выполнено p(A_i1,A_i2…A_in)=p(A_i1)•p(A_i2)•…•p(A_in)