Схема исследования графика функции

1. Найти область определения функции.

2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

3. Найти асимптоты.

4. Найти точки возможного экстремума.

5. Найти критические точки.

6. Исследовать знак первой производной и определить участки возрастания и убывания функции, точки экстремума.

7. Исследовать знак второй производной и найти направление выпуклости графика функции и точки перегиба.

8. Учитывая исследование, построить график.

Пример. Построить график функции

1) область определения:

2) функция непрерывна при

- точка разрыва

3) - вертикальная асимптота

4) функция общего вида

5) не периодическая

6) пересечение с OX:

пересечение с OY:

7) при график функции ниже оси OX; ( y<0)

при график функции выше оси OX. ( y>0)

8)

9)

Поведение графика функции

В точке – перегиб

10) Найдем наклонные асимптоты:

4. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Неопределенный интеграл

Основная задача дифференциального исчисления – отыскание производной заданной функции. Интегральное исчисление решает обратную задачу: по данной функции найти такую , производная от которой равна , т.е.

Определение 4.1. Функция называется первообразной для функции на некотором промежутке X, если для всех значений x из этого промежутка выполняется равенство

Примеры

1. Функция является первообразной для функции на всей числовой прямой, так как при любом значении x

2. Функция является первообразной для функции так как при любом значении x

3. Функция (где c – произвольная постоянная) является первообразной для функции так как при любом значении x

Таким образом, задача отыскания по данной функции её первообразной решается неоднозначно.

Покажем, что множество функций - некоторая первообразная для функции , а c – произвольная постоянная, исчерпывает все первообразные для функции .

Ранее было доказано, что функция, производная которой на некотором промежутке X равна нулю, постоянна на этом промежутке.

Теорема 4.1. Если - первообразная для функции на некотором промежутке X, то любая другая первообразная для на том же промежутке может быть представлена в виде - произвольная постоянная.

Доказательство.Пусть - любая другая первообразная для функции , на промежутке X, т.е. Тогда для любого выполняется:

а по лемме это означает, что функция постоянна, т.е. где c – некоторое число. Получаем .

Из теоремы следует, что достаточно найти какую – либо одну первообразную и тогда можно назвать все семейство первообразных

Определение 4.2. Если функция - первообразная для функции на промежутке X, то множество функций - произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции на этом промежутке и обозначается символом

- подынтегральная функция;

- подынтегральное выражение;

x – переменная интегрирования.

Восстановление функции по её производной называется интегрированием этой функции. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Для того, чтобы проверить правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию:

Будем говорить, что функция интегрируема, если для неё существует неопределенный интеграл.