Методические указания по выполнению разделов №2.1, №2.2, №2.3

Если отказ технического устройства наступает при отказе одного из элементов, то говорят, что такое устройство имеет основное или последовательное соединение элементов (рис. 1). Работоспособность основной системы обеспечивается при условии, когда все n элементов системы находятся в работоспособном состоянии. При расчете надежности таких устройств, предполагают, что отказ элемента является событием случайным и независимым.

Рис. 1. Структурная логическая схема основного соединения элементов

Для основного соединения элементов основные показатели надежности вычисляются следующим образом:

· вероятность безотказной работы

; (1)

или в соответствии с основным законом надежности:

(2)

· вероятность отказа

. (3)

Поскольку на участке нормальной эксплуатации наработку до отказа можно i-ого элемента системы можно описать экспоненциальным распределением:

, (4)

где .

Тогда вероятность безотказной работы всего основного соединения:

. (5)

Используя основной закон надежности:

,

(6)

и полагая

,

получаем, что интенсивность отказов основного соединения равна сумме интенсивностей отказов элементов:

. (7)

В общем случае, для любого распределения наработки интенсивность отказов системы равна:

. (8)

Для n идентичных элементов λ₁(t) = … = λ_n(t) = λ(t):

.

Если все элементы данного типа равнонадежны, интенсивность отказов системы будет:

, (9)

где – число элементов i-го типа; r – число типов элементов.

Из выражения для математического ожидания наработки до отказа:

. (10)

Среднее значение наработки до отказа при основном соединении элементов:

. (11)

Таким образом, при экспоненциальной наработке до отказа каждого из n элементов, распределение наработки до отказа основного соединения элементов также подчиняется экспоненциальному распределению.

Для основного соединения надежность всей системы меньше надежности каждого из элементов. С увеличением числа элементов надежность основного соединения элементов системы уменьшается.

На практике очень часто приходится вычислять вероятность безотказной работы высоконадежных систем. При этом произведение значительно меньше единиц, а вероятность безотказной работы близка к единице. В этом случае, разложив в ряд и ограничившись первыми двумя его членами, с высокой степенью точности можно вычислить P(t). Основные количественные характеристики надежности можно с достаточной для практики точностью вычислить по следующим приближенным формулам:

, (12)

Вычисление количественных характеристик надежности по этим, приближенным формулам не дает больших ошибок для систем, вероятность безотказной работы которых превышает 0.9, т.е. для

При расчете надежности систем часто приходится перемножать вероятности безотказной работы отдельных элементов расчета, возводить их в степень и извлекать корни. При значениях P(t), близких к единице, эти вычисления можно с достаточной точностью выполнять по следующим приближенным формулам:

,

(13)

.

где – вероятность отказа i-го блока.

Системой с параллельным соединением элементов называется система, отказ которой происходит только в случае отказа всех ее элементов (см. рис. 2). Такие схемы надежности характерны для систем, в которых элементы дублируются или резервируются, т.е. параллельное соединение используется как метод повышения надежности. Однако такие системы встречаются и самостоятельно.

Для отказа системы с параллельным соединением элементов в течение наработки t необходимо и достаточно, чтобы все ее элементы отказали в течение этой наработки. Так что отказ системы заключается в совместном отказе всех элементов, вероятность чего (при допущении независимости отказов) может быть найдена по теореме умножения вероятностей как произведение вероятностей отказа элементов:

(14)

Рис. 2. Структурная логическая схема параллельного соединения элементов

Соответственно, вероятность безотказной работы

(15)

Для систем, состоящих из равнонадежных элементов ( )

(16)

т.е. надежность системы с параллельным соединением повышается при увеличении числа элементов.

При экспоненциальном распределении наработки выражение (15) принимает вид

(17)

Средняя наработка системы определяется

(18)

где – средняя наработка элемента.

Интенсивность отказов системы, состоящей из N параллельно соединенных элементов, обладающих постоянной интенсивностью отказов , равна

. (19)