ІІІ. Интегральное исчисление

Понятие неопределеннного интеграла, свойства

Определение 1:

Функция называется первообразнойфункцией для функции на промежутке , если в каждой точке этого промежутке .

Определение 2:

Совокупность всех первообразных для функции на промежутке называется неопределенным интегралом от функции и обозначается . Таким образом: , где - некоторая первообразная для , с – произвольная постоянная.

В частности: .

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.:

.

Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.:

.

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е.:

.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.:

, где

- некоторое число.

4. Интеграл от алгебраической суммы функции равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций:

.

5. Если числитель подынтегральной дроби есть производная от знаменателя, то интеграл равен логарифму модуля знаменателя:

.

Таблица интегралов от основных элементарных функций

;	;
;
;	;
;	;
;	;
;	;
;	;
;	;
;	.

Определенный интеграл. Основные свойства

Если - первообразная функция от , т.е. , то .

Эта формула вычисления определенного интеграла называется формулой Ньютона-Лейбница.

Геометрический смысл. Если функция непрерывна на отрезке и внутри этого отрезка всюду неотрицательна, то определенный интеграл представляет собой в декартовой системе координат площадь криволинейной трапеции (см. рис. 12), ограниченной графиком подинтегральной функции , осью и двумя прямыми .

0

Рис. 12

Свойства определенного интеграла

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. Если постоянная, то ;

6. .

Основные методы интегрирования

Основными методами интегрирования являются непосредственное интегрирование при помощи основных свойств неопределенного и определенного интеграла и таблицы интегралов, метод подстановки (замены переменной) и интегрирование по частям.

Метод непосредственного интегрирования

Метод состоит в том, что с помощью алгебраических преобразований подынтегральная функция приводится к табличной или их сумме. Рассмотрим этот метод на примерах.

Примеры:

1. .

2.

.

3.

Метод подстановки

Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла или интеграла, берущегося тем или иным известным приемом. Такой метод называется методом подстановки, а также методом замены переменной.

Рассмотрим функцию , где , тогда:

(3.1)

Формула (3.1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

После нахождения интеграла надо вместо подставить его выражение через . В определенном интеграле возврат к переменной не обязателен, но в этом случае при замене переменной необходимо изменить пределы интегрирования, т. е. воспользоваться формулой:

.

Примеры.

1. .

Обозначим , тогда и, следовательно, .

.

2. .

3. .

4.

	Полагаем . Дифференцируя это соотношение, находим
	, откуда . Находим теперь новые пределы интеграла. Для этого из соотношения определяем
	значения при и при . Итак, имеем

x

z

dx

dz

dx

dz

x

z

z

x

-

=

=

=

-

=

=

полагаем

.

Дифференци

руя

это

соотношени

е,

находим

,

откуда

.

Находим

теперь

новые

пределы

интеграла.

Для

этого

из

соотношени

я

определяем

значения

при

В приведенных выше примерах метод замены переменной быстро привел к цели. Однако удачный выбор новой переменной обычно представляет известные трудности. Для их успешного преодоления необходимо хорошо владеть техникой дифференцирования, уметь «прикидывать», что даст та или иная подстановка, и твердо знать табличные интегралы.

Интегрирование по частям

Пусть функции и непрерывно дифференцируемы на некотором промежутке, тогда:

. (3.2)

Формулу (3.2) обычно записывают в виде:

. (3.2*)

Для определенного интеграла она такова:

.

Эти формулы называются формулами интегрирования по частям. Правильнее было бы назвать их формулами частичного интегрирования. При известных и они сводят нахождение интеграла от после частичного интегрирования к нахождению интеграла от . Иногда удается функции и выбрать так, что новый интеграл либо сам является табличным, либо сводится к табличным интегралам уже известными методами.

При этом следует учитывать, что за принимается функция, которая дифференцированием упрощается, а за - та часть подынтегрального выражения, содержащая , интеграл от которой известен или может быть найден.

Так, при вычислении интегралов вида , , за следует принять многочлен , а за - соответственно выражения - , , .

При вычислении интегралов вида , , за следует принять выражение , а за - соответственно функции , , .

Примеры.

1. . Полагаем . Тогда и, значит, по формуле (3.2*). .

2. .

3.

Формулу интегрирования по частям применили дважды.

4.

.