Связь аналитических и гармонических функций.

Рассмотрим аналитическую функцию f(z) = u(x,y) + i v(x,y). Тогда

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru

Следовательно, u(x,y) и v(x,y) удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению с частными производными.

Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими.

Но функции u(x,y) и v(x,y) удовлетворяют еще условиям Коши – Римана.

Две гармонические функции, удовлетворяющие условиям Коши – Римана,называются сопряженными гармоническими функциями.

Действительная и мнимая части аналитической функции являются сопряженными гармоническими функциями.

Для любой заданной гармонической функции можно построить сопряженную гармоническую функцию. Пусть u(x,y) – гармоническая функция. Тогда

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru

Получилась задача о построении функции по полному дифференциалу.

П р и м е р .Дана мнимая часть v(x,y) = x2 – y2 + 2x аналитической функции f(z). Найти эту функцию.

Проверим, удовлетворяет ли функция v(x,y) уравнению Лапласа.

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru

Геометрический смысл производной.

Пусть функция f(z) – аналитическая в области (D). Рассмотрим на плоскости (Z) кривую (l) и на ней точку z0. Она отобразится на плоскости (W) в кривую (L) и точку
W0 = f(z0 ). Пусть f′(z0) ≠ 0. Пусть далее z = z0 + ∆z, w = w0 + ∆w.

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru

Тогда

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru

Следовательно, |f′(z0)| - коэффициент растяжения в точке z0 при отображении w = f(z).

В силу аналитичности функции f(z) пределы (1) и (2) не зависят от способа приближения точки z к точке z0, т.е. от выбора кривой (l). Это означает, что предел (2) один и тот же во всех направлениях выходящих из z0.

arg f′(z0) = Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru .

Отсюда, ψ = arg f′(z0) + φ.

Таким образом, arg f′(z0) – угол, на который надо повернуть касательную к кривой (l) в точке z0, чтобы получить направление касательной к кривой (L) в точке w0. В силу аналитичности функции w = f(z) величина arg f(z0) одна и та же для всех кривых (l), проходящих через точку z = z0.

Следовательно, при отображении с помощью аналитической функции углы между кривыми в точке z0сохраняются.

Отображения, обладающие в данной точке свойством консервативности углов и свойством постоянства растяжения, называются конформными отображениями в этой точке.

Аналитическое отображение является конформным, если f′(z) ≠ 0.

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru

Интегралы от функций комплексного переменного.

Рассмотрим непрерывную функцию комплексного переменного

W = f(z) = u(x,y) + i v(x,y).

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru y Zk+1 Пусть (l) - кусочно-гладкая линия, на которой указано

начало и конец (т.е. линия ориентирована, эта линия

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru ∆Zk Zk может быть и замкнутой). Разобьем кривую

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru (l) произвольным образом на участки и найдем

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru x Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru

zk = xk + i yk, ∆zk = ∆xk + i ∆yk .

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru

Этот предел называется контурным интегралом от функции f(z) вдоль линии (l).

Очевидно,

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru

Контурные интегралы обладают всеми свойствами криволинейных интегралов. Отметим два из них.

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru A

C

B

Вычисление контурных интегралов.

Пусть x = x(t), y = y(t) – параметрические уравнения кривой (L). Или в комплексной форме z = x(t) + i y(t). t = tA → A, t = tB → B.

Отсюда

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru

П р и м е р .

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru y

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru x = 2t, t0 = 0, tA = 1, z = 2t + i t, |z| = Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru

z = 2 + i y = t.

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru A

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru O 2 x

Теорема Коши.

Пусть функция f(z) аналитическая в области (D).

Теорема.

Если функция f(z) аналитическая в замкнутой односвязной области (D), то интеграл по замкнутому контуру, ограничивающему эту область, равен нулю.

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Эта теорема распространяется и на многосвязную область.

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru (L) Сделаем разрезы γ1 и γ2. Область стала односвязной.

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Следовательно, Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru

(Γ) – контуры (L), (L1), (L2) и разрезы (γ1) и (γ2). Разрезы

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru проходятся дважды в противоположных направлениях, в

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru силу чего интегралы по этим разрезам взаимно

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Llllll ( γ1) уничтожаются. Следовательно,

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Γ

       
    Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru
  Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru
 

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru (L) Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru

           
  Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru
    Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru   Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru
 
 

Или

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru2)

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru П р и м е р .

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru

2. n > 0, но точка z = a лежит вне контура (L).

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru

       
  Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru
    Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru
 

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru (L) ● z = a

3. n > 0, и точка z = a лежит в области, ограниченной контуром (L).

Проведем окружность (С) с центром в точке z = a и радиусом R, не пересекающую (L). Уравнение окружности имеет вид:

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru |z – a| = R, или z – a = R e, z = a + Re.

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Функция Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru аналитическая в области

(L) между (L) и (С). Следовательно,

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru z = a

(C)

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru

Формула Коши.

Пусть функция аналитическая в замкнутой области , (L) – граница этой области, тогда для всех точек z = a, расположенных внутри этой области, имеет место равенство

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru

Следствие. z = a

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru П р и м е р .

  1. Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru |z|=1/2

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru z = -i

 
  Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru |z|=2

 
  Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru

2. Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ruz=-i

3. Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru |z|=i

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru |z|=1/2 2

  1. Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru y |z-2|=3/2

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru 0 x

z=2

Степенные ряды.

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru

a0, a1, …,an, … - комплексные постоянные, z = x + iy – комплексная переменная.

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru .

Можно показать, что областью сходимости степенного ряда является круг
|z – a| < R. Внутри этого круга ряд сходится. Вне его, т.е. при |z – a| > R, расходится, a на границе |z – a| = R ряд может сходиться, а может расходиться. R – радиус сходимости ряда.

П р и м е р .

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru

Пусть z – фиксированное число. Составим ряд модулей.

Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru

Вне этого круга ряд расходится. В точках окружности |z| = Связь аналитических и гармонических функций. - student2.ru ряд может сходиться, а может расходиться.

Теорема.

Наши рекомендации