Правила нахождения первообразных

1) Если F(х) первообразная для функции f(х) , а G(х) – первообразная для функции g(х) , то F(х)+ G(х) первообразная для f(х) +g(х);

2) Если F(х) первообразная для функции f(х) и к- постоянная, то к∙F(х) первообразная для к∙f(х);

3) Если F(х) первообразная для функции f(х) и к,b – постоянные, причём к≠0, то ∙F(кх+b)- первообразная для f(кх+b).

8.4. Понятие интеграла

Обозначение:

(читается: интеграл от а до в эф от икс дэ икс)

Числа а, в, называются пределами интегрирования

8.5. Формула Ньютона – Лейбница:

Т.е. для вычисления интеграла необходимо:

1) найти первообразную;

2) подставить в первообразную число в;

3) поставить знак -;

4) подставить в первообразную число а;

5) вычислить.

Функции и графики

А) Линейная функция:

Определение: Линейной функцией называется функция вида у = кх +в

Графиком линейной функции является прямая.

Для построения прямой необходимо две точки:

х
У

у=х

Б) Квадратичная функция

Определение: Квадратичной функцией называется функция вида

у = ax² + bx + c

Графиком линейной функции является парабола

Для построения необходимо определить:

1) направление ветвей :

· если а>0, то ветви вверх

· если а<0, то ветви вверх

· 2) вершина (х₀, у₀) : х₀ = - , у₀ = у(х₀)

у=х²

Алгоритм нахождения площади фигуры с помощью интеграла

1. Построить графики функций и найти точки пересечения;

2. Выделить (заштриховать) на чертеже искомую фигуру;

3. Записать формулу вычисления площади;

4. Вычислить значение интегралов.

Случай 1 Случай 2 Случай 3

у=f(х)

у=f2(х)

у=f1(х)

S=

2. Примеры и упражнения

Пример 1: Вычислить первообразную

1)f(х)=2х⁵

F(х)=

2)f(х)=14х⁶

F(х)=

3)f(х)=х⁴-3х²+6х+7

4) f(х)=6х⁷-13х⁶+3х²

5) f(х)= =34х^-10

6)f(х)=

Пример 2:Вычислить интеграл:

1)

2)

3)

Пример3:Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

у= 6-х, ось ОХ, х=3,х=5

Решение:

у= 6-х, линейная функция, график – прямая

х
у

Получили, что прямая проходит через точки (1;5) (2;4)

Тогда (случай 1):

Ответ: S=4ед²

Пример4: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

f(х) = х²-8х+16, f(х)=-х+6

Решение:

1) Построим графики функций, заданных в условии

f(х) = х²-8х+16

График парабола

Для построения:

а)т.к. 1>0, то ветви вверх

в) вершина (х₀, у₀) : х₀ = - =- ,

у₀ = у(х₀)=у(4)= 4²-8·4+16=16-32+16=0, т.е. вершина (4;0)

f(х)= -х+6

График прямая.Для построения:

у(1)= -1+6=5

у(2)= -2+6=4, таким образом получили точки:

х
У

(1;5), (2;4)

Строим график:

Случай 3, тогда:

S=7,5-3=4,5 ед²

Ответ: S=4,5 ед²

Варианты контрольной работы

Задание 1: Вычислить первообразную

Вариант 1: f(x) = 3х ³-4х²+15sinх

Вариант 2: f(х) =12х³-

Вариант 3: f(х) = 12х⁶-6х⁵-10х⁴+4х³-4х²+6

Вариант 4: f(х) =

Вариант 5:f(х) = 4sinx –5cosx +е^х

Вариант 6: f(х) =

Вариант 7: f(х) =

Вариант 8:

Вариант 9: f(х) =

Вариант 10: f(х) =

Вариант 11: f(х) =

Вариант 12: f(х) =

Вариант 13: f(х) =

Вариант14: f(х) = 4sinx –5cosx +е^х

Вариант 15:f(х) =

Вариант 16: f(х) =4х⁵-12х⁴+17х³-15х²+4х-3

Вариант 17: f(х) =14х⁶-12х⁵-5х⁴+8х³-х²+3

Вариант 18: f(х) =

Вариант1 9: f(х) =

Вариант 20: f(х) =

Вариант 21:f(х) =

Вариант 22: f(х) = 12х⁶-6х⁵-10х⁴+4х³-4х²+6

Вариант 23: f(х) = 2sinx+3cosx -

Вариант 24: f(х) = 4sinx –5cosx +е^х

Вариант 25:f(х) =

Вариант 26: f(х) =14х⁵+х⁴-7х³-х²+4х

Вариант 27:f(х) =

Вариант 28: f(х) = 4sinx –5cosx +е^х

Вариант 29:

Вариант 30 (х) = 14х⁶-12х⁵-5х⁴+8х³-х²+3

Задание 2: Вычислить интеграл

Вариант 1:
Вариант 2:
Вариант 3:
Вариант 4:
Вариант 5:
Вариант 6:
Вариант 7:
Вариант 8:
Вариант 9:
Вариант 10:
Вариант 11:
Вариант 12:
Вариант 13:
Вариант 14:
Вариант 15:
Вариант 16:
Вариант 17:
Вариант 18:
Вариант 19:
Вариант 20:
Вариант 21:
Вариант 22:
Вариант 23:
Вариант 24:
Вариант 25:
Вариант 26:
Вариант 27:
Вариант 28:
Вариант 29:
Вариант 30:

Задание 3: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Вариант 1: у=х²-8х+18, ось ОХ

Вариант 2: у=6-х, ось ОХ, х=3, х=5

Вариант 3: у=-х²+4х+1, у=х+1

Вариант 4: у=4-х, ось ОХ, х=1, х=3

Вариант 5:у=х²-8х+16, у=6-х

Вариант 6: у=-х²+8х-11, у=х-1

Вариант 7: у=х²-4х+4, у=4-х

Вариант 8: у=2х²-12х+19, ось ОХ

Вариант 9: у = -х+1, ось Ох, ось Оу

Вариант 10: у=-х²+4х-2, у=х²-4х+4

Вариант 11: у =х², у = -х+2

Вариант 12: у = 1-х², ось Ох, ось Оу

Вариант 13: у=-х²+6х-7, у=х²-6х+9

Вариант14: у = -х+3, ось Ох, ось Оу

Вариант 15:у =х², ось Ох, х=0,х=2

Вариант 16: у=х²-8х+17, у=-х²+10х-19

Вариант 17: у = 8-х, ось ОХ , х=5, х=7

Вариант 18: у =х², ось Ох, х=1,х=9

Вариант1 9: у=-х²+4х+2, у=х²-6х+10

Вариант 20: у = х²-2х+2, у=-х²+4х+2

Вариант 21: у = 16-х, ось ОХ , х=1, х=2

Вариант 22: у = -х²+2х+9, у = 3х²-6х+5

Вариант 23: у =х², ось Ох, х=1,х=4

Вариант 24: у=х²-4х+4, у=4-х

Вариант 25:у=-х²+4х+2, у=х²-6х+10

Вариант 26: у=х²-8х+16, у=6-х

Вариант 27:у = -х²+2х+9, у = 3х²-6х+5

Вариант 28: у=2х²-12х+19, ось ОХ

Вариант 29: у=х²-8х+18, ось ОХ

Вариант 30 : у=-х²+6х-7, у=х²-6х+9

Содержание темы«Элементы теории вероятностей, комбинаторики и математической статистики»

Предмет комбинаторики. Цели и задачи комбинаторики. Общие правила комбинаторики.

Цели и задачи комбинаторики, общие правила, сведения из истории комбинаторики, связь с другими науками. Основные понятия комбинаторики

Основные комбинаторные понятия и формулы.

Определение факториала, сочетаний, размещений, перестановок элементов. Комбинаторные задачи.

Формула бинома Ньютона.

Формула Ньютона и основные следствия. Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник Паскаля

Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей

Классическое и статистическое определения вероятности;

теоремы сложения и умножения вероятностей; формула полной вероятности;

Дискретная случайная величина, закон ее распределения. Числовые характеристики дискретной случайной величины

Понятие дискретной случайной величины и закон ее распределения;числовые характеристики дискретной случайной величины.

Представление данных (таблицы, диаграммы, графики).

Разные виды диаграмм, использование диаграмм, таблиц, графиков

Генеральная совокупность, выборка, среднее арифметическое, медиана.

Среднее значение (среднее арифметическое) набора;наибольшее и наименьшее значения набора чисел, его размах;отклонения от среднего арифметического и дисперсия;

Основные сведения из теории

9.1. Определение вероятности

Теория вероятностей занимается исследованием вероятностных закономерностей массовых однородных явлений, многие её практические приложения используются в математической статистике.

Определение: Вероятностью события Аназывается отношение числа исходов опыта, благоприятных этому событию, к числу возможных исходов:

- классическое определение вероятности.

9.2. Основные формулы комбинаторики

При вычислении вероятностей часто приходится использовать некоторые формулы комбинаторики– науки, изучающей комбинации, которые можно составить по определенным правилам из элементов некоторого конечного множества.

Перестановки

Определение Перестановки– это комбинации, составленные из всех п элементов данного множества и отличающиеся только порядком их расположения.

Число всех возможных перестановок:

Р_п = п! (n факториал)

п!=1∙2∙3∙4∙…….∙n

Размещения

Определение: Размещения – комбинации из т элементов множества, содержащего п различных элементов, отличающиеся либо составом элементов, либо их порядком.

Число всех возможных размещений

Сочетания

Определение: Сочетания – неупорядоченные наборы из т элементов множества, содержащего п различных элементов (то есть наборы, отличающиеся только составом элементов).

Число сочетаний

9.3. Формула Бернулли

. , где

n – число опытов А;

к – число наступления события А;

р- вероятность события А;

q – вероятность не наступления события А (q=1-р);

9.4. Определения теории математической статистики

Наряду с понятием случайного события в теории вероятности используется и более удобное понятие случайной величины.

Определение: Случайной величиной называется величина, принимающая в результате опыта одно из своих возможных значений, причем заранее неизвестно, какое именно.

Будем обозначать случайные величины заглавными буквами латинского алфавита (Х, Y,Z,…), а их возможные значения – соответствующими малыми буквами (x_i, y_i,…).

Случайные величины подразделяются на две группы: дискретные и непрерывные.

Определение: Случайная величина называется дискретной, если она принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

Определение : Случайная величина называется непрерывной, если множество ее возможных значений целиком заполняет некоторый конечный или бесконечный промежуток.