Непрерывность функции в точке
Функция f(x), х є (а; b) называется непрерывной в точке х0 є (а; b), если
предел функции f(x) в точке х0 существует и равен значению функции в этой точке:
Согласно данному определению непрерывность функции f в точке х0 означает выполнимость следующих условий:
1) функция f (х) должна быть определена в токе х0 ;
2) у функции f (х) должен существовать предел в точке х0
3) предел функции f (х) в точке х0 совпадает со значением функции в этой точке.
Например, функция f(x) = х2 определена на всей числовой прямой и 
Так как f(1) = = 1, т.е. значение f(x) = х2в точке х = 1 совпадает с пределом при х → 1, то, согласно определению, функция f(x) = х2 непрерывна в точке х = 1.
Функция называется непрерывной в промежутке (замкнутом или открытом), если она непрерывна во всех точках этого промежутка.
Дадим другое определение непрерывности функции в точке.Функция 
называется непрерывной в точке 
, если она в этой точке определена и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. 
Если функция 
непрерывна в точке , то точка называется точкой непрерывности.В противном случае точка - называется точкой разрыва.
Если функция имеет в точке разрыв, то для определения характера разрыва следует найти предел функции при 
слева и справа. В зависимости от характера поведения функции в окрестности точки разрыва различают 2 основных вида разрыва:
1) разрыв I рода – в этом случае существуют конечные пределы 
2) разрыв II рода – в этом случае хотя бы один из пределов 
или 
не существует или бесконечен.
Примеры по выполнению практической работы
Пример 1.Найти предел функции f(x) = |x| при x®0
Данная функция определена на всей числовой прямой. Так как f(x)=-x для х, удовлетворяющих неравенству x<0, то
.
Так как f(x)=x, при x>0
.
Таким образом, f(+0)=f(-0)=0. Так как односторонние пределы в точке нуль совпали, то предел функции f(x) в точке нуль существует и равен их общему значению, т.е.:
.
Пример 2.Доказать, что функция 
не имеет предела в точке х=1.
Данная функция определена на всей числовой прямой. Вычислим односторонние пределы этой функции в точке х=1:
,
.
Итак, f(1-0)¹f(1+0). Следовательно, данная функция не имеет предела в точке х=1.
Пример 3. Исследовать на непрерывность функцию 
в точке 
.
Решение: воспользуемся определением 1:
1) Т.к. определена на всей числовой прямой, то условие 1) выполнено;
2) 
; 
;
значит предел функции в точке существует и 
.
3) 
;
Отсюда имеем, что 
, т.е. предел функции при 
равен значению функции при 
. Следовательно, функция 
в точке х=3 непрерывна.
Пример 4. Исследовать на непрерывность функцию 
в точке 
.
Решение: опять воспользуемся определением 1:
1) в точке 
функция не определена, значит нет выполнения первого условия, и непрерывности в точке нет.
Пример 5.Исследовать на непрерывность функцию 
Решение: функция 
определена на всей числовой оси. В таких случаях удобно для исследования на непрерывность пользоваться вторым определением.
Дадим аргументу 
приращение 
и найдем приращение функции 
:
Найдем предел при 
: 
Т.к. равенство справедливо при любом конечном значении , поэтому функция 
непрерывна при любом значении .
Пример 6. Найти точки разрыва функций и определить их характер: а) 
; б) 
.
Решение: а) т.к. в точке функция не определена, значит ее точкой разрыва будет точка . Для определения характера разрыва найдем левый и правый пределы функции при 
: 
; 
. Значит, функция в точке имеет разрыв II рода.
б) Функция имеет единственную точку разрыва 
, в которой функция не определена. Вычислим односторонние пределы функции при 
: 
; 
. Т.к. левый и правый пределы функции в точке 
конечны, то точка - точка разрыва I рода.
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Указать, чему равны односторонние пределы в точке 
функции f(x), заданной графиком:
2. Выяснить, существует ли предел функции f(x) в т. 
, если
3. Исследовать на непрерывность функцию:
а) y = 2x2 + 8x в точке x0 = -1; б) y = sin x на (-∞;+∞);
4. Найти точки разрыва функции и определить их характер:
а) 
; б) 
;
Вариант 2
1. Указать, чему равны односторонние пределы в точке 
функции f(x), заданной графиком:
2. Выяснить, существует ли предел функции f(x) в т. , если
3. Исследовать на непрерывность функцию:
а) y = -2x2 + 5x в точке x0 = 2: б) y = x3 на (-∞;+∞)
4. Найти точки разрыва функции и определить их характер:
а) 
; б) 
;
Вариант 3
1. Указать чему равны односторонние пределы в т. функции f(x), заданной графиком:
2. Выяснить, существует ли предел функции f(x) в т. 
, если
3. Исследовать на непрерывность функцию:
а) y = x2 + 7x в точке x0 = 3; б) y =sin 2x на (-∞;+∞);
4. Найти точки разрыва функции и определить их характер:
а) 
; б) 
;
Вариант 4
1. Указать чему равны односторонние пределы в т. 
функции f(x) , заданной графиком:
2. Выяснить, существует ли предел функции f(x) в т. 
, если
3. Исследовать на непрерывность функцию:
а) y = 4x2 – 3x + 1 в точке x0 = 2; б) y = cos 2x на (-∞;+∞);
4. Найти точки разрыва функции и определить их характер
а) 
; б) 
Контрольные вопросы
1. Дайте определение односторонних пределов функции;
2. Сформулируйте условие существования предела функции в точке;
3. Какая функция называется непрерывной в точке? На интервале?
4. Какие три условия необходимо проверить при исследовании функции на непрерывность?
5. Что такое точка непрерывности и точка разрыва?
6 . Как определить характер точки разрыва?