Мгновенная скорость прямолинейно движущейся точки

Пусть – уравнение движения точки и – путь, пройденный точкой до фиксированного момента , а – путь, пройденный точкой до момента . Найдем путь, пройденный точкой за время :

.

Средней скоростью прямолинейного движения за время называется отношение пройденного пути к затраченному времени:

.

Если существует предел при , он называется мгновенной скоростью в момент :

.

К нахождению пределов вида, в рассмотренных выше задачах, приводят решения и множества других задач. Можно показать, что:

· если – количества электричества, проходящего через поперечное сечение проводника за время , то сила тока в момент времени равна:

;

· если – количества вещества, вступающего в химическую реакцию за время , то скорость химической реакции в момент времени равна:

;

· если – масса неоднородного стержня между точками и , то линейная плотность стержня в точке x₀есть:

;

Все рассмотренные выше пределы имеют одинаковую математическую структуру и являются математическими моделями, которые характеризуют скорость изменения определенного процесса (зависимой величины) для каждого значения независимой величины: скорость изменения ординаты кривой (касательная кривой), скорость изменения пути от времени, скорость изменения заряда от времени и т.д.

С математической точки зрения все эти пределы одинаковы и отличаются только обозначениями. В математике зависимую и независимую величины принято обозначать y и x. Тогда возникает вопрос: как обозначить скорость изменения зависимой в определенном процессе величины (т.е. функции), в зависимости от аргумента.

В математике приняты следующие обозначения:

- ввел Лейбниц; - ввел Ньютон; - ввел Лагранж.

Таким образом, предел отношения приращения функции к приращению аргумента называют производной функции. Обозначается , читается « штрих по ».

Производная функции в точке

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , где .

Чтобы найти производную функции в точке , необходимо проделать следующие операции:

• аргументу дадим приращение , т.е. ;
• найдем соответствующее приращение функции ;
• составим отношение приращения функции к приращению аргумента ;
• найдем предел этого отношения при , т.е.

Если этот предел существует, то его называют производной функции и обозначают: .

Определение 3.1. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, т.е.

(3.1)

или

. (3.2)

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Функция, имеющая производную в точке , называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках множества X, называется дифференцируемой на этом множестве.

Значение производной функции в точке обозначается одним из символов: .

Пример 3.1. Найти значение производной функции в точке , используя определение производной функции:

1) , ; 3) , ;

2) , ; 4) , .

Решение. 1) I способ: используем формулу 1.2:

.

II способ: используем формулу 1.1:

.

Таким образом,

.

Находим значение производной функции в точке :

.

2) Воспользуемся формулой 3.1:

.

Таким образом,

.

Находим значение производной функции в точке :

.

3) Воспользуемся формулой 3.1:

Таким образом,

.

Находим значение производной функции в точке : .

4) Воспользуемся формулой 3.1:

.

Таким образом,

.

Находим значение производной функции в точке : .

,

Выше была рассмотрена задача про касательную к кривой, в которой был найден угловой коэффициент касательной:

.

Это дает возможность сформулировать геометрический смысл производной функции в точке: производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абсцисса которой равна :

.

Механический смысл: скорость прямолинейного движения материальной точки в момент время есть производная от пути по времени :

.

Физический смысл: если функция описывает какой-либо процесс, то производная есть скорость протекания этого процесса.

3.3.Связь между непрерывностью и

Дифференцируемостью функции

Определяя понятие производной функции в точке , мы предполагали лишь существование функции в точке и в некоторой достаточно малой ее окрестности, и существование предела . Теперь свяжем дифференцируемость функции в точке с непрерывностью этой функции.

Теорема 3.1. Если функция определена на X и в точке имеет конечную производную , то непрерывна в точке .

Из теоремы 3.1. следует, что в точках разрыва функции производная не существует.

Неверно утверждение, обратное к теореме 3.1.: из непрерывности функции в точке не следует существование производной в этой точке.

Например, функция в точке непрерывна, но производная не существует, т.к.

.

Это значит, график функции не имеет касательной в точке .

Хотя для функции не существует, но существуют односторонние пределы: и . В этом случае говорят, что функция имеет односторонние производные.

Односторонними производными (производными слева и справа) называют и , если они существуют. Обозначаются соответственно: и .

Если , то производная в точке не существует.

Надо заметить, что производная непрерывной функции сама не обязательно является непрерывной.

Например, функция определена для , т.е. . По определению 3.1. . В точке производная функции равна , хотя сама функция в точке непрерывна.

Если , то производная называется бесконечной.

Если функция имеет непрерывную производную в некотором интервале , то функция называется гладкой.

3.4.Основные правила дифференцирования.