Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение. Бесконечно малой при х®х0 называется функция α(х), предел

которой при х®х0 равен нулю, т. е.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru

Для бесконечно малых верны теоремы о пределах функций, а именно:

–сумма конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая;

–произведение бесконечно малых есть функция бесконечно малая;

–произведение бесконечно малой на постоянную есть функция бесконечно малая;

–произведение бесконечно малой на функцию ограниченную есть функция бесконечно малая.

Например, α1(х)=(х–2)2 – функция бесконечно малая при х®2.

α2(х)=sin x – функция бесконечно малая при х®π.

α3(х)=х2–3х+2 – функция бесконечно малая при х®1.

Обратимся теперь к рассмотрению функций, значения которых в окрестности точки х0 не ограничены.

Определение.Функция ƒ(х) называется бесконечно большой

при Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru , если для любого положительного числа М

найдется такое положительное число δ, что для каждого х

из δ-окрестности точки х0 выполняется неравенство |ƒ(х)| > М.

Примером такой функции является функция tg х при Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru .

Функция Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru при х®0 также является бесконечно большой. Если ƒ(х) – бесконечно большая при х®х0 функция, то записывают:

Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru .

Здесь знак ∞ (бесконечность) указывает, что функция не имеет предела и является бесконечно большой.

Сформулируем теорему о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций.

Теорема. Если функция α(х) – бесконечно малая при х®х0, то Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru

бесконечно большая функция при х®х0.

Если ƒ(х) – бесконечно большая функция при х®х0, то

Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru – бесконечно малая функция при х®х0.

Например, если sin x – бесконечно малая при х®0, то Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru – бесконечно большая при Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru . Или при х®3 функция х–3®0, а функция Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru .

Заметим, что отношение любой функции, стремящейся к конечному пределу, и функции бесконечно малой является функцией бесконечно большой.

Поэтому, Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru , т. к. Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru , а Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru .

Рассмотрим поведение функций при неограниченном возрастании аргумента х. Говорят х®∞ (неограниченно возрастает по абсолютной величине), если для любого числа М > 0 переменная х примет значение

|х| > М

Можно говорить о пределе функции при х®∞. Если при этом существует предел А функции ƒ(х), то записывают

Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru

Все рассмотренные теоремы и правила вычисления предела справедливы и в этом случае.

Например, Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru – бесконечно малая функция при х®∞, т. к. Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru .

Непрерывность функции

Понятие непрерывности функции интуитивно связано с непрерывностью линии (графика функции). С точки зрения математика это понятие связано с существованием предела функции в точке.

       
  Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru   Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru
 

       
  Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru   Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru
 

Рис. 17. Рис. 18

. Рис. 19. Рис. 20.

На рисунках 17–20 представлены графики различных функций, из которых только одна (рис. 20) является непрерывной в точке х0. Остальные функции не являются непрерывными в точке по разным причинам. На рис. 17 дан график функции, которая имеет в точке х0 различные (хотя и конечные) односторонние пределы. На рис. 18 функция в точке х0 не имеет конечного правого предела. На рис. 19 функция имеет оба равные односторонние пределы, но сама в точке х0 не определена. Таким образом, для непрерывности функции в точке должны быть устранены все эти особенности.

Определение.Функция ƒ(х) называется непрерывной в точке х0, если

1) она определена в точке х0 и в некоторой ее окрестности,

2) существует Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru ,

3) предел функции в точке х0 равен значению функции в

этой точке, т. е. Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru

Второе условие определения может быть сформулировано более подробно: существуют и равны оба односторонних предела в точке, т. е.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru

Рассмотрим примеры.

№ 1. Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru .

Эта функция не является непрерывной в точке х=0, т. к. в этой точке она не определена.

№ 2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru .

Эта функция не является непрерывной в точке х=2, т. к. в этой точке не существует ее предел: Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru .

Заметим, что Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru в точке х=2 тоже не определена.

№ 3. Зададим функцию с помощью двух аналитических выражений, а именно

Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru

Посмотрим, является ли эта функция непрерывной в точке х=1. Значение функции в этой точке ƒ(1)=3–1=2. Функция определена для всех действительных чисел.

Вычислим односторонние пределы. При х < 1 ƒ(х)=х, поэтому

Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru

При х > 1 ƒ(х)=3–х, поэтому

Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru

Так как односторонние пределы не равны между собой, то не существует Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru и в точке х=1 функция не может быть непрерывной.

Определение. Функция называется непрерывной на отрезке, если она

непрерывна в каждой точке этого отрезка.

Рассматривая простейшие элементарные функции, легко убедится, что каждая из них непрерывна в области своего определения.

Определение.Точка х=х0 называется точкой разрыва функции, если в

этой точке нарушается хотя бы одно требование

непрерывности.

На рисунках 17–19 приведены примеры точек разрыва.

Точку называют точкой разрыва первого рода, если существуют и конечны оба односторонних предела.

Точку разрыва называют точкой разрыва второго рода, если хотя бы один односторонний предел в этой точке не существует (или бесконечен).

В рассмотренном примере № 3 функция Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru имеет в точке х=1 точку разрыва первого рода.

График этой функции состоит из двух полупрямых у=х (для х < 1) и у=3–х (для х ³ 1).

Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru

Рис. 21.

При исследовании функции на непрерывность точку разрыва следует искать там, где функция не определена, или в точках, где одно аналитическое выражение функции меняется на другое.

Укажем некоторые свойства непрерывных функций.

1. Если функции ƒ(х) и φ(х) непрерывны в точке х0, то непрерывны в точке х0 функции ƒ(х)±φ(х), ƒ(х)·φ(х), Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru .

Заметим, что Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru непрерывна в точке х0 только, если φ(х0)¹0.

2. Каждая элементарная функция непрерывна в своей области определения.

3. Непрерывная на отрезке функция принимает на этом отрезке свое наибольшее и свое наименьшее значения.

4. Если функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [а, b] и ƒ(а)=А, ƒ(b)=В, то каково бы ни было число С (А < С < В), найдется точка х=с внутри отрезка [а, b] такая, что

ƒ(с)=С

То есть функция принимает на отрезке все промежуточные значения.

5. Если функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [а, b] и принимает на концах его значения разных знаков (ƒ(а)·ƒ(b) < 0), то внутри отрезка найдется точка х=с такая, что ƒ(с)=0. Это свойство позволяет приближенно находить корень уравнения, т. к. если ƒ(с)=0, то с – решение уравнения ƒ(х)=0.

Неопределенности

Теоремы о пределах функций, о бесконечно малых функциях облегчают нахождение пределов. Рассмотрим так называемые неопределенные выражения, когда эти теоремы не применимы. Например, теорема о пределе частного не применима для отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших функций.

Пусть α(х) и β(х) – бесконечно малые при Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru ; u(x)и v(x) – бесконечно большие при х®х0. Тогда можно рассматривать пределы при х®х0 таких, неопределенных для х=х0, выражений (называемых неопределенностями):

Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru α(х)·u(x), u(x)–v(x), которые условно обозначают символами Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru , 0·∞, ∞–∞.

Раскрытие неопределенностей (т. е. нахождение пределов неопределенных выражений) происходит с применением некоторых простейших приемов, которые позволят применить теоремы о пределах.

Рассмотрим эти приемы на примерах.

Пример 1.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru

Здесь применима теорема о пределе частного. К этому же выражению при х® Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru теорема о пределе неприменима, т. к. Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru и Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru .

Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru представляет собой неопределенность вида Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru .

Разложим на множители квадратный трехчлен.

2+8х–1=9·(х– Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru )·(х+1).

Для этого достаточно найти корни х1 и х2 квадратного трехчлена

ах2+bх+с=а(х–х1)·(х–х2).

Под знаком предела сократим одинаковые множители и перейдем к пределу:

Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru

Пример 2.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru .

Обнаружив неопределенность Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru (так это в примере и записывают), раскладываем многочлены в числителе и в знаменателе на множители.

Сократив на х–1, получили дробь Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru , числитель которой стремится к конечному пределу, отличному от нуля ( Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru ), а знаменатель при х®1 является бесконечно малой, тогда дробь при х®1 является бесконечно большой.

Пример 3.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru .

Здесь числитель и знаменатель не имеют конечных пределов, имеем неопределенность Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru . Поделив одновременно числитель и знаменатель на х3, получим

Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru , т. к. каждая из дробей Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru является бесконечно малой и стремится к нулю.

Пример 4.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru , так как

Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru .

Для раскрытия неопределенности Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru следует числитель и знаменатель разделить на одну и ту же старшую степень переменной.

Неопределенности вида 0·∞ и ∞–∞ приводятся к неопределенностям Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru или Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru .

Пример 5.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru

После приведения данных дробей к общему знаменателю была получена дробь, представляющая собой неопределенность Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru .

Пример 6.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru .

Здесь удалось избавиться от разности ( Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru –2), стремящейся к нулю при х®4, разложив х–4 на множители по формуле разности квадратов.

Пример 7.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru

В этом примере нужно было избавиться от радикалов, для чего умножили и числитель и знаменатель на сумму – сопряженное числителю выражение. Применив формулу разности квадратов в числителе, мы избавились от радикалов:

Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru .

Пример 8.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru

При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, используется первый замечательный предел: Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru

Чтобы подчеркнуть, что первый замечательный предел представляет собой неопределенность Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru , т. е. отношение двух бесконечно малых, записывают его формулу в виде:

Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru ,

если α(х) – бесконечно малая функция. Заметим, что, например, Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru не является замечательным пределом.

Пример 9.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru .

При вычислении этого предела прежде всего обнаружили неопределенность Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru . Чтобы использовать первый замечательный предел, разделим sin3πх (и умножим) на 3πх, затем и знаменатель sin πх разделим (и умножим) на πх. Сократив общие множители вынесем множитель 3 и, перейдя к пределу в числителе ( Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru ) и в знаменателе ( Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru ), получим искомый предел.

Пример 10.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru .

Принимая Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru =α(х) (бесконечно малая при х®∞), используем

Бесконечно малые и бесконечно большие функции - student2.ru .

Наши рекомендации