З.2 Компонентные и топологические уравнения моделируемого объекта

Поведения большинства физических систем можно охарактеризовать с помощью фазовых переменных. Фазовая переменная (ФП) – это величина, характеризующая физическое или информационное состояние моделируемого объекта. Так, в электрической системе ФП это токи и напряжения, в механической системе – силы и скорости.

Законы функционирования элементов системы задаются компонентными уравнениями. Они описывают связь ФП разного типа для каждого элемента технической системы. Компонентные уравнения – это уравнения математических моделей элементов системы. Они могут быть линейными, нелинейными, алгебраическими, дифференциальными или интегральными. Каждый элемент моделируемого объекта должен иметь компонентное уравнение. Для большинства элементов такие уравнения уже получены, их используют при моделировании. Например, в гидравлике для дросселя есть аналитическое выражение, которое связывает расход и давление. Связь между однородными ФП, которые относятся к разным элементам в подсистемах, устанавливается топологическими уравнениями. Они отображают топологию взаимосвязей элементов. Их получают на основе данных о структуре системы. Примеры топологических уравнений: в электрических системах – уравнения на основе законов Кирхгофа; в механических системах – уравнения, отражающие принципы Д.Аламбера и добавление скоростей и т.д. Очевидно, что процедура разработки топологических уравнений выполняется для каждого моделируемого объекта, поскольку структуры объектов различны.

Математическую модель системы получают объединением компонентных и топологических уравнений этой системы.

Компонентные и топологические уравнения электрической цепи

Математическая модель любой электрической цепи состоит из компонентных и топологических уравнений этой цепи.

Компонентные уравнения.

Эти уравнения отражают зависимость между током и напряжением для элемента схемы.

а) для линейного резистивного элемента

б) для линейного индуктивного элемента

в) для линейного емкостного элемента

Топологические уравнения.

Эти уравнения характеризуют способ соединения ветвей, не отражая их содержимого. Топологические уравнения обычно строятся на законах Кирхгофа. Как известно, есть закон Кирхгофа для токов (ЗКТ) и закон Кирхгофа для напряжений (ЗКН). ЗКТ гласит: алгебраическая сумма токов связанных с узлом, равна нулю. На рис. 3.3 (а) показан узел.

(а) (б)

Рис 3.3 Электрический узел (а) и замкнутый контур (б)

Для него ЗКТ записывается так . ЗКН звучит так, алгебраическая сумма напряжений ветвей в замкнутом контуре равна нулю. Для контура, изображенного на рис. 3.3 (б) ЗКН записывают так: . Эти уравнения не содержат сведений о том, какие типы элементов включены в ветви и каковы их параметры. Известно, что если в схеме n-узлов, то по ЗКТ можно составить (n-1) независимых уравнений. Для составления уравнений по ЗКН в схеме должны быть найдены независимые замкнутые контуры, т.е. такие контура, в каждом из которых имеется хотя бы одна ветвь, не входящая во все другие контура. Поиск независимых контуров для цепи со сложной конфигурацией (топологией) представляет собой относительно большую трудность. Чтобы получить топологические уравнения каждую ветвь электрической цепи представляют линией, которая соединяет соответствующие узлы. Получается так называемый граф цепи. Пример приведен на рис. 3.4, рис. 3.5.

Рис. 3.4 Пример электрической цепи

Рис. 3.5 Граф цепи

Выбор положительного направления тока и напряжения на графе делается произвольно. При этом полагается, что выбранное положительное направление тока одновременно является и положительным направлением напряжения.