Некоторые специальные функции

Единичная ступенчатая функция.

Единичной ступенчатой функцией (1(t)) называют следующую функцию:

(1)

рис. 1

Равенство (1) не определяет значение функции 1(t) в момент t=0. В большинстве случаев это обстоятельство не имеет никакой роли. При необходимости функцию 1(t) доопределяют одним из трех способов.

1) 2) 3)

Запаздывающая единичная ступенчатая функция задается соотношением:

Название запаздывающая функция обосновано тем, что график функции получается из графика 1(t) путем смещения вправо на величину .

Функции вида - запаздывающие, т. к. они повторяют сигнал f(t), но с запаздыванием на величину времени , т. е. со смещением графика функции вправо.

Рис. 2

Дельта функция.

Дельта функция ( ) введена в математику известным физиком Дираком и поэтому часто называется функцией Дирака. Дельта функция не является функцией в обычном смысле слова, а относится к так называемым обобщенным функциям.

Существуют разные способы введения d - функции.

d - функцией будем называть функцию, удовлетворяющую следующему интегральному уравнению: (2)

Проанализируем уравнение (2).

Из (2) следует, что при t<0 (3)

Поскольку соотношение (3) справедливо для любого t<0, то это очевидно возможно лишь при условии d(t)=0 при t<0.

Пусть t>0. Обозначим через e малое положительное число. Запишем равенство:

(4)

Из (4) следует равенство:

(5)

Так как равенство (5) справедливо для любого t>e, то это возможно только при условии d(t)=0 при t>e. e - cколь угодно малое положительное число, поэтому справедливо равенство: d(t)=0 при t>0.

Для определения значения функции в момент времени t=0 в соответствии с (2) запишем

, где e - малое положительное число.

В соответствии с (2) .

(6)

Равенство (6) справедливо для любого сколь угодно малого положительного e. Таким образом, площадь под кривой на бесконечно малом интервале интегрирования равняется положительному числу 1. Это возможно только при условии . Следовательно

(7)

К равенству (7) необходимо добавить соотношение (8),

которое непосредственно следует из равенства (2).

d - функцию обычно задают с помощью соотношений (7) и (8). Продифференцируем формально по t равенство (2).

На этом основании d(t) рассматривают как производную единичной ступенчатой функции.

Соотношение между 1(t) и d(t) пояснить с помощью следующих предельных переходов. Рассмотрим функцию . Покажем, что . Действительно

рис. 3 ( )

Найдем производную .

Покажем, что . Действительно

.

, ч. т. д.

На основании , . Заключаем

.

Рис. 4( )

Запаздывающая d - функция определяется соотношением

Рассмотрим интеграл , полагая, что f(t) непрерывна в точке . Принимая во внимание вид d(t), имеем

(9)

.

Свойство, выраженное равенством называют фильтрующим свойством d(t).

Введение d - функции позволяет дифференцировать разрывные функции. Рассмотрим функцию , которая имеет в точке разрыв первого рода.

при

ЛЕКЦИЯ 11

План лекции

1. Класс функций преобразуемых по Фурье.

2. Одностороннее преобразование Фурье.

3. Обобщенное преобразование Фурье.

4. Абсцисса абсолютной сходимости.

5. Преобразование Лапласа.

6. Основные теоремы преобразования Лапласа.