Изолированные особые точки аналитической функции. Вычеты

Содержание

Содержание………………………………………………………………………..2

Замечания руководства…………………………………………………………...3

1.Изолированные особые точки аналитической функции. Вычеты...................4

1.1. Нули аналитической функции.........................................................................4

1.2. Изолированные особые точки.........................................................................5

1.2.1. Определение………………………………………………………………...5

1.2.2. Признаки особых точек…………………………………………………….6

1.3. Вычет аналитической функции в особой точке............................................8

1.3.1. Вычет в устранимой особой точке равен нулю…………………..………9

1.3.2. Вычеты в полюсах…………………………………………………….……9

1.3.2.1. Доказательство……………………………………………………………9

1.3.2.2. Доказательство……………………………................................................9

1.3.2.3. Доказательство……………………………………………………....…..10

1.3.3. Примеры нахождения вычетов………………………………………..….11

1.4. Основная теорема о вычетах.........................................................................13

1.5. Бесконечно удалённая особая точка.............................................................16

Литература……………………………………………………………………….20

Замечания руководства

Изолированные особые точки аналитической функции. Вычеты.

1.1. Нули аналитической функции.
Определение. Точка а называется нулём порядка k аналитической функции f(z), если f(a) = f ′(a) = f ″(a) = ... = f ^(k−1)(a) = 0, но f ^(k)(a) ≠ 0.
Пример. Пусть . Точка a = 0 - нуль этой функции, так как f(0) = 0. Найдём порядок нуля: f ″(z) = − sin z + z, f ″(0)= 0, f ^{( 3 )}(z) = − cos z + 1,f ^{( 3 )}(0) = 0, f ^{( 4 )}(z) = sin z, f ^{( 4 )}(0) = 0, f ^{( 5 )}(z) = cos z, f ^{( 5 )}(0) = 1 ≠ 0,. Первая отличная от нуля производная функции в точке a = 0 - пятая, поэтому эта точка - нуль пятого порядка функции .
Теорема. Для того, чтобы аналитическая в точке а функция f(z) имела в этой точке нуль k -го порядка, необходимо и достаточно, чтобы в окрестности этой точки функция f(z)представлялась в виде f( z) = (z − a) ^k·φ(z), где φ(z) - аналитическая в точке а функция, и φ(a) ≠ 0.
Доказательство. Необходимость. Пусть точка а - нуль k-го порядка функции f(z), т.е. f(a) = f ′(a) = f ″(a) = ... = f ^(k−1)(a) = 0, и f ^(k)(a) ≠ 0. Тогда её разложение в ряд Тейлора имеет вид , где - аналитическая (как сумма степенного ряда с тем же кругом сходимости, что и у ряда для f(z)) функция, .
Достаточность. Пусть f( z) = (z − a) ^k·φ(z), где φ(z) - аналитическая в точке а функция, и φ(a) ≠ 0. Находим производные этой функции по формуле Лейбница( uv ) ⁽ⁿ⁾ = u ⁽ⁿ⁾ v + nu ^{(n - 1)} v ′ + C_n² u ^{(n - 2 )} v ″ + C_n³ u ^{(n - 3 )} v^{(3 )} + … + C_n² u ″ v ^{(n - 2)} + n u ′ v ^{(n - 1 )} + uv ^{(n )}: f ′(z) = k(z − a)^{k - 1} φ(z) + (z − a)^k φ ′(z), f ′(a) = 0; f ″(z) = k (k − 1)(z − a)^{(k - 2)} φ(z) + 2k (z − a)^{(k - 1)} φ′(z) + (z − a)^(k) φ″(z), f ″(a)=0;
f ^{( k -1 )}(z) = k·( k -1 )·…2·(z − a) φ(z) + C¹_k-1k·( k -1 )·…3·(z − a)² φ ′(z) + … + (z − a) ^k φ^{(k -1)}(z), f ^{( k -1)}(a)=0;
f ^{( k)}(z) = k·( k -1 )·…2·1·φ(z) + C¹_k k·( k -1 )·…2·(z − a) φ ′(z) + … + (z − a) ^k φ^(k)(z), f ^{( k)}(a) = k!·φ(a) ≠ 0, что и требовалось доказать.
Из этой теоремы следует, что если многочлен P _n(z) = a₀ z ⁿ + a₁ z ^{n - 1} + a₂ z ^{n - 2} + … + a _{n - 1} z = 0 разложен на множители P _n(z) = a₀ (z − z₁) ^k₁ (z − z₂) ^k₂ … (z − z_l) ^k_l , то корни z₁, z₂, …, z_lявляются нулями функции P _n(z) кратностей, соответственно, k₁, k₂, …, k_l.

1.2. Изолированные особые точки.
1.2.1. Определение. Точка а называется изолированной особой точкой функции f(z), если существует окрестность этой точки, в которой f(z) аналитична во всех точках, за исключением точки а.
Рассмотрим разложение функции f(z) в ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки а. При этом возможны следующие случаи.
1. Главная часть ряда Лорана отсутствует: .
В этом случае особая точка а называется устранимой.
2. Главная часть содержит конечное число членов: .
В этом случае особая точка а называется полюсом n-го порядка. Если n =1, полюс называется простым, в остальных случаях - кратным.
3. Главная часть содержит бесконечно много членов. В этом случае особая точка а называется существенно особой точкой.

1.2.2. Признаки особых точек по значению .
1. Для того, чтобы особая точка z = a была устранимой особой точкой функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный предел = C, C ≠ ∞.
Док-во. Выпишем разложение f(z) в ряд Лорана: . Очевидно, что может быть конечным тогда и только тогда, когда отсутствуют члены с отрицательными степенями, т.е. отсутствует главная часть, т.е. z = a – устранимая особая точка. В этом случае = A₀.
2. Для того, чтобы особая точка z = a была полюсом функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы существовал бесконечный предел = ∞.
Докажем теорему, из которой следует это утверждение.
Теорема. Для того, чтобы особая точка z = a была полюсом n-го порядка функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности этой точки f(z) представлялась в виде , где φ(z) аналитическая в точке а функция, φ(a) ≠ 0.
Док-во. Необходимость. Пусть f(z) имеет в точке z = a была полюс n-го порядка,т.е. Преобразуем это выражение: . Обозначим φ(z) сумму ряда, стоящего в скобках:φ(z) = A _-n + A _{-n + 1}(z − a) + A _{-n + 2}(z − a)² + … + A₀(z − a) ⁿ + A₁(z − a) ^{n + 1} + A₁(z − a) ^{n + 2} + ….
Ряд Лорана функции f(z) сходится в некотором кольце 0 < | z – a | < r. Пусть точка z₁ принадлежит этому кольцу. Ряд для φ(z) сходится в этой точке, так как он отличается от сходящегося ряда для f(z) только постоянным множителем ; по теореме Абеля ряд для φ(z) сходится в круге | z – a | < | z₁ – a |, и φ(z) аналитична в этом круге как сумма степенного ряда.
Достаточность. Пусть , где φ(z) аналитическая в точке а функция, φ(a) ≠ 0. Разложим φ(z) в ряд Тейлора: φ(z) = B₀ + B₁(z − a) + B₂(z − a)² + … + B_k(z − a)^k + … . Тогда , т.е. главная часть ряда Лорана функции f(z) начинается с члена , где B₀ = φ(a) ≠ 0, т.е. точка z = a – полюс n-го порядка.
Следствие. Точка z = a – полюс n-го порядка функции f(z) тогда и только тогда, когда существует конечный .
Теорема о связи нулей и полюсов.Функция f(z) имеет в точке z = a – полюс n-го порядка тогда и только тогда, когда функция имеет в этой точке нуль n-го порядка.
Это теорема непосредственно следует из доказанной теоремы и теоремы предыдущего раздела. С её помощью легко определять порядок полюса. Так, мы доказали, что функция имеет в точке 0 нуль пятого порядка. Поэтому функция имеет в этой точке полюс пятого порядка.
3. Мы доказали, что в устранимой особой точке и в полюсе существует (конечный или бесконечный) . Поэтому в существенно особой точке этот предел существовать не может. Более того, верна теорема Пикара, которую мы приведём без доказательства:
В любой сколь угодно малой окрестности своей существенно особой точки функция f(z) принимает (причём бесконечно много раз) любое конечное значение (за исключением, возможно, одного).

1.3. Вычет аналитической функции в особой точке.

Пусть функция f(z) аналитична в области D за исключением точки a. Разложим f(z) в окрестности этой точки в ряд Лорана:
Коэффициент A_-1 называется вычетом функции f( z) в точке а и обозначается . Если γ - произвольный кусочно-гладкий замкнутый контур, расположенный в области D и содержащий внутри себя точку а, то, согласно общей формуле для коэффициентов ряда Лорана (см. 19.8.3. Ряд Лорана), получаем другое, эквивалентное, определение вычета, = A _–1.

1.3.1. Вычет в устранимой особой точке равен нулю.
Это следует из определения устранимой особой точки: главная часть ряда Лорана отсутствует, все коэффициенты с отрицательными индексами равны нулю, A_-1 = 0.

1.3.2. Вычеты в полюсах.
1.3.2.1. Если а - простой полюс функции f(z),то .
Док-во. Простой полюс - полюс первого порядка, поэтому разложение в ряд Лорана начинается с минус первой степени: . Тогда(z − a) f( z) = A _-1 + A ₀(z − a) + A ₁(z − a) ² + A ₂(z − a) ³ + …, и .

1.3.2.2. Пусть , где φ( z), ψ( z) - аналитические в окрестности точки а функции. Если а - простой нуль функции ψ( z), и φ(a)≠0, то .
Док-во. Если а - простой нуль функции ψ( z), и φ( a) ≠ 0, то а – простой полюс функции . Тогда, по предыдущему утверждению,

1.3.2.3. Если а - полюс функции f(z) n-го порядка, то .
Док-во. Так как точка z = a - полюс n-го порядка функции f(z), то . Для того, чтобы удалить особенность в точке а, умножим f(z) на (z – a)ⁿ: (z – a) ⁿf( z) = A _{- n} + A _{-n + 1}(z − a) + … + A _{- 1}(z − a) ^{n - 1} + A ₀(z − a) ⁿ + A ₁(z − a) ^{n + 1} + …. Теперь, чтобы убрать первые члены этой формулы и добраться до A _-1, дифференцируем это произведение n-1 раз:
, , откуда и следует доказываемая формула.