Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Вид частных решений, характеристическое уравнение
ЛОДУ с постоянными коэффициентами
у(n) + P1y(n-1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y = 0, где все Pi (i= )= const
будем искать частное решение y=ekx , к – неизвестная постоянная
y’=kekx
y’’=k2ekx
……
y(n)=k(n) ekx
k(n) ekx + P1k(n-1) ekx + … + Pnekx = ekx(k(n) + P1k(n-1) + … + Pn) = 0
ekx 0 => k(n) + P1k(n-1) + … + Pn = 0, (1)
ð y=ekx - решение ДУ
(1) – характеристическое уравнение для ЛОДу с постоянными коэффициентами, выражения слева характеристический многочлен.
Решением характеристич уравнения (1) дает систему частных решений ЛОДу, структура ФСР зависит от вида корней характер уравнения.
(1) – алгебраическое уравнение n-ой степени, может иметь не более, чем n корней, обознач-м эти корни характеристического уравнения через k1 ,k2 …kn
Возможны случай
1)все корни хар-го уранения вещественны и различны
2)все корни различны, но среди них есть комплексные
3)среди действительных корней имеются кратные
4)среди комплексных корней есть кратные
Общий алгоритм решения ЛОДу с постоянным коэффициентом
1) составим характер уравнение : y=ekx , k(n) + P1k(n-1) + … + Pn = 0
2) найти корни характер уравнения k1 ,k2 …kn
3) по характеру корней находим частное линейно-независимое решение по таблице 1
4) подставляем частное решение на основе Теоремы о структуре общего решения ЛОДУ и получаем общее решение y =
№ | Вид корня | Соответственное решение |
Действ корень кратности 1 | ekx | |
Пара корней a bi;кратнос 1 | eаxcosbx , eаxsinbx | |
Действит корень кратност α | ekx, хekx, х2ekx, х3ekx,…, хα-1ekx | |
Пара сопряж корней α a bi | eаxcosbx , eаxsinbx хeаxcosbx , хeаxsinbx х2eаxcosbx , х2eаxsinbx хα-1eаxcosbx , хα-1eаxsinbx |
55. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Теорема о структуре общего решения (док. для n=2). Теорема о суперпозиции решений (док. для n=2).
ЛНДУ
у(n) + P1y(n-1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y = f(x) (1) Pi – непрерывна на отрезке (a,b)
Теорема о структуре общего решения ЛНДУ
Общее решение ЛНДУ есть сумма частного решения и общего решения соответственного ему однородного уравнения
Док-во:
Для уравнения 2-го порядка ( но теорема применима для уравнений любого порядка)
n=2
(1’) y” + P1(x) y’ + P2(x) y = f(x)
Обозначим у*(х) – частное решение ЛНДУ
(х) – общее решение ЛОДУ
Показать, что
(2) у= у*+ - общее решение ЛНДУ
Найдем:
Дважды дифференцируем функцию (2) и подставляем у, y’,y” в (1’)
у*”(x) + ”(x) + P1(x)[ у*(x)+ ’(x)] + P2(x)[ у*(x)+ (x)] =
= [у*”(x)+ P1(x) у*’(x)+ P2(x) у*(x)] + [ ”(x) + P1(x) ’ (x)+ P2(x) (x)] = f(x) + 0 = 0
= C1y1(x) + C2y2(x), y1,y2 – частное решение ЛОДУ y” + P1y’ + P2 = 0
C1C2 – подбираем так, чтобы они удовлетворяли начальным условиям
y(x0)=y0 , y’(x0)=y0’, для любых х0 (а,в), и любых y0 ,y0’
C1y1(x0) + C2y2(x0) + у*(x0) = y0
C1y’1(x0) + C2y’2(x0) + у*(x0) = y0’
Линейная неоднородная система, определитель этой системы, определитель Вронского
W[y1, y2]≠0 =>система имеет единственное решение при любых 0 , ’0 ,y*0 ,y*’0 , это означает у= у*+ - общее решение ЛНДУ
Теорема2 принцип суперпозиции (принцип сложения решений)
Если функция yi(x) является решением ЛНДУ
(3) y(n) + P1y(n-1) + … + Pny = fi(x) то функция = α1y1 + α2y2 + … + αnyn , то это функция является решением y(n) + P1y(n-1) + … + Pny = α1 f1(x) + α2 f2(x) + … + αn fn(x) (4)
Док-во: для n=2
Подставим y, y’, y”, в (4) , учитываем что y1 y2 решение соответственного уравнения (3)
α1y1” + α2y2” + P1(x)[ α1y1+ α2y2] =
= [α1y1” + P1(x)α1y’1 + P2(x)α1y1] + [α2y2” + P1(x)α2y’2 + P2(x)α2y2] = α1f1(x) + α2f2(x)
56. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов для уравнений со специальной правой частью. Метод вариации произвольных постоянных (вывод рабочей формулы).
Рассмотрим ЛНДУ с постоянными коэф-ми.
Ур-е у(n) + P1y(n-1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y = f(x) : Pi=const
Метод неопр-х коэф-в можно применять если правое ур-е имеет следующий вид: f(x)= , , -многочлены степени g и r соотв-но a и b некоторые числа. В основе метода неопр-х коэф-в лежит знание формы частного решения, а именно частное решение стоит искать в аналогич-ой форме свободного члена.
№ | Вид правой части (f(x)) | Корни харак-го уравнения | Вид частного решения y* |
P (x)=A x +A x +… +A x+ A | а) число 0 не явл-ся корнем хар-го ур-я б) число 0 явл-ся корнем хар-го ур-я кратности | а) y*=b x +b x +…+ +b б) y*=x (B x +B x +… +B ) | |
P (x)e = e ( A x + +A x +…+A x+ A ) p-действ-е число | а) число p не явл-ся корнем хар-го ур-я б) число p явл-ся корнем хар-го ур-я кратности | a) y*= e ( b x +b x +…+ +b ) б) y*= e x ( b x +b x +…+ +b ) | |
P (x)cosgx+Q (x)singx g-число | а) число gi-не явл-ся корнем хар-го ур-я б) число gi-явл-ся корнем хар-го ур-я кратности | а) y*= (x)cosgx+ (x)singx б) y*=x ( (x)cosgx+ (x)singx) | |
P (x)e cosgx+ Q (x)e singx | а) число gi-не явл-ся корнем хар-го ур-я б) число gi-явл-ся корнем хар-го ур-я кратности | а) y*= (x) e cosgx+ (x)singx б) y*= x ( (x) e cosgx+ + (x)singx) |
Замечание к таблице: 1)степени многоч-ов P и Q в случаях (3) и (4) можно считать одинаковыми, если они различны, то коэф-ты при недостающих степенях одного из многоч-ов можно считать=0.
2)правая часть ур-я может содержать несколько слагаемых; в этом случае сост-ся из неск-ких слагаемых в соотв-ии с Теоремой о неравенстве нулю вронскиана линейно-независимых решений ЛОДУ
Метод вариации производных постоянных(метод Лагранджа).
Метод позволяет найти решение ДУ независимо от вида правой части, когда известно общее решение соотв-го однородного ДУ.
Например: ДУ 2-го порядка. Пусть y”+P (x)y’+P (x)y=f(x) (1) пусть y (x) и y (x)-ФСРЛОДУ
y”+P (x)y’+P (x)y=0 (x)= C y (x)+C y (x) (2). Частное решение y*(x) в виде (14) считая при этом C и C не постоянными, а неизв-ми функциями от x.
y*= C (x)y (x)+C (x)y (x), y*= C’ (x)y (x)+C(x) y’ (x)+C’ (x)y (x)+ C(x) y’ (x)
Пусть C (x) и C (x) C’ (x)y (x)+ C’ (x)y (x)=0 /справедливое равенство (3), тогда y* ’= C (x)y’ (x)+ C (x)y’ (x); y* ”= C (x)y’ (x)+ C (x)y” (x)+ C’ (x)y’ (x)+ C (x)y” (x).
Подставим y*, y* ’, y* ” в (1): C (x)[ y” (x) + P (x)y ’(x) + P (x) y (x)] + C (x)[ y” (x) + P (x)y ’(x) + P (x) y (x)] + C’ (x)y’ (x)+ C’ (x)y’ (x)=f(x). Т.к. y (x), y (x) решения ОДУ, то выражения []=0 C’ (x)y’ (x) + C’ (x)y’ (x)=0.
Объясним два условия и (3):
C’ (x)y (x)+ C’ (x)y (x)=0
C’ (x)y’ (x)+ C’ (x)y’ (x)=f(x) (4)
Неопр-е ф-ии C’ (x) и C’ (x).
Определитель этой системы: W[y , y ]= 0 решая систему мы получим C (x)= (x),
C (x)= (x) проинтегрируем и получим решение C (x) и C (x) найдены. Подставим в y*.
Для ЛНДУ n-го порядка ф-ии C (x) определяются из системы:
C’ (x)y + C’ (x)y +…+ C’ (x)y =0
C’ (x)y’ + C’ (x)y’ +…+ C’ (x)y’ =0
……………………………………………
C’ (x)y + C’ (x)y +…+ C’ (x)y =0
C’ (x)y + C’ (x)y +…+ C’ (x)y =f(x)
Алгоритм решения ЛНДУ
1) найти ФСР однородного уравнения и записать его общее решение (ОУ)
2) записать частное решение неоднородного ДУ в форме общего решения ОУ считая Ci=Ci (x)
3) построить систему для определения Ci ‘(x) – решить ее
4) найти Ci (x) и подставить их в общее решение НДУ