Понятие функционального ряда

Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным:

Придавая определенное значение , получим числовой ряд

который может быть как сходящимся, так и расходящимся. Если полученный числовой ряд сходится, то точка называется точкой сходимости функционального ряда; если же ряд расходится – точкой расходимостифункционального ряда. Совокупность числовых значений аргумента x, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости. В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от : . Определяется она в области сходимости равенством , где частичная сумма ряда.

Степенные ряды

Степенным рядом называется ряд вида:

.

Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений , при которых данный ряд сходится.

Число R называется радиусом сходимости степенного ряда, если при ряд сходится и притом абсолютно, а при ряд расходится. Радиус сходимости найдем, используя признак Даламбера:

т.е. если степенной ряд сходится при любых , удовлетворяющих данному условию и расходится при . Отсюда следует, что если существует предел ,то радиус сходимости ряда равен этому пределу и степенной ряд сходится при , т.е. в промежутке , который называется промежутком (интервалом) сходимости.

Если , то степенной ряд сходится в единственной точке . На концах промежутка ряд может сходиться (абсолютно или условно), но может и расходиться.

Сходимость степенного ряда при и исследуется с помощью какого-либо из признаков сходимости.

Пример 2. Найти область сходимости ряда. Решение. Найдём радиус сходимости ряда:

Следовательно, ряд сходится при , т.е. при . При имеем ряд , который сходится по признаку Лейбница.

При имеем расходящийся ряд: . Ответ: областью сходимости исходного ряда является промежуток Задание 7. Найти область сходимости степенного ряда:

1)	6)
2)	7)
3)	8)
4)	9)
5)	10)

Ответы:

Задание 1. 1) , 2) , 3) , 4), 5) , 6) , 7) ,

8) , 9) , 10) .

Задание 2. 1) да, 2) да, 3) да, 4) нет, 5) нет, 6) да, 7) да, 8) нет, 9) нет, 10) да.

Задание 3. 1)сходится , 2) расходится, 3) расходится, 4) расходится, 5) сходится, 6) сходится, 7) расходится, 8) расходится, 9) сходится, 10) сходится.

Задание 4. 1) расходится, 2) сходится, 3) сходится, 4) сходится, 5) сходится, 6) сходится, 7) сходится, 8) расходится, 9) сходится, 10) расходится.

Задание 5. 1) расходится, 2) сходится, 3) сходится, 4) расходится, 5)

сходится, 6) расходится, 7) сходится, 8) расходится, 9) расходится, 10)

расходится.

Задание 6. 1) абсолютно сходится, 2) условно сходится, 3) условно сходится, 4) условно сходится, 5) абсолютно сходится, 6) абсолютно сходится, 7) абсолютно сходится, 8) абсолютно сходится, 9) условно сходится, 10) условно сходится.

Задание 7. 1) (-2;2], 2) , 3) , 4) (-4;4), 5) [-3;1), 6) [-1;5], 7) (-6;2), 8) (-2;1), 9) , 10) (0;4).