Линейные цепи при импульсных входных воздействиях

Для передачи данных широко используются импульсные сигналы. Электрическим импульсом называют кратковременное отклонение величины напряжения, или тока от первоначального значения. В линейных цепях при импульсных воздействиях происходят переходные процессы. Анализ импульсных схем обычно проводят во временной области, что означает исследование напряжений и токов как функций времени. В качестве входных воздействий при этом используют элементарные импульсные сигналы (модели) (Рис. 2.18).

1) Единичный скачок (единичная функция Хевисайда) описывается выражениями:

2) Дельта – функция (единичная импульсная функция Дирака) :

Одной из характеристик цепи во временной области является переходная характеристика, или переходная функция, показывающая напряжение на выходе цепи при подаче на ее вход единичного скачка. Выходное напряжение в этом случае называют «отклик», или «реакция» цепи на единичный скачок.

Рассмотрим работу простейших RC – цепей (Рис. 2.16) во временной области.

Схему ФВЧ в импульсной технике называют интегрирующая цепь

Схему ФВЧ в импульсной технике называют дифференцирующая цепь

Анализ переходных процессов позволяет записать для каждой цепи переходную функцию.

Переходные характеристики (Рис.2.19) позволяют сделать вывод, что проекция касательной к экспоненте равна τ, а переходный процесс практически заканчивается за время, равное 3 τ.

Сигнал сложной формы можно представить в виде бесконечной суммы ступенек вида единичного скачка и найти выходное напряжение как реакцию цепи на эту сумму. Запись выражения для выходного сигнала цепи в виде суммы реакций на единичные скачки называется интегралом Дюамеля:

Простейшая сумма скачков – прямоугольный импульс. Форма выходных импульсов RC-цепей зависит от соотношения длительности импульса t_И и постоянной времени цепи τ. Работу рассматриваемых цепей при различных значениях t_И / τ поясняет рис.2.20.

Рассмотрим функции, выполняемые RC-цепями при различных значениях t_И / τ .

t_И / τ >1

Увеличение длительности фронтов импульсов

Формирование коротких импульсов Приближенное дифференцирование

t_И / τ =1

Формирование экспоненциальных импульсов

Форсирование фронтов импульсов

t_И / τ <1

Выделение постоянной составляющей. Приближенное интегрирование

Разделительная цепь

Тема 3. Основы спектрального анализа

Электрические сигналы, используемые для передачи данных, имеют сложную фору. При анализе электрических цепей исследуют реакцию цепи на элементарные функции времени. Сложные сигналы можно представить состоящими из элементарных сигналов. В основе спектрального анализа представление сигнала сложной формы в виде суммы гармонических сигналов. Спектр (от лат. spectrum – представление, образ) – совокупность простых гармонических колебаний, являющихся составляющими сложного колебательного процесса.

Спектральный анализ периодических функций заключается в нахождении коэффициентов ряда Фурье. Сигнал u(t) является периодическим, если он удовлетворяет тождеству u(t) = u(t+T), где Т - период повторения сигнала. Если задана периодическая функция u(t) на интервале –Т/2 < t < Т/2 c конечным значением интеграла и конечным числом разрывов за период (условия Дирихле), то она разлагается в ряд Фурье, содержащий гармонические составляющие, частоты которых кратны основной частоте ω₁ = 2π / Т.

Коэффициенты ряда Фурье определяются по формулам:

Все гармоники ряда Фурье с частотами, кратными частоте первой гармоники ω₁ образуют ортогональную систему функций. Условие ортогональности – равенство нулю интеграла от произведения функций, например:

.

Заменяя две гармоники одинаковой частоты с нулевыми начальными фазами на одну с ненулевой фазой, получим второй вариант записи ряда Фурье в тригонометрической форме:

Спектр сигнала – упорядоченное множество, или совокупность амплитуд С_n и фаз φ_n. Наибольший интерес при проектировании электронных устройств представляет амплитудный спектр С_n . При вычислении получим амплитуды всех гармоник положительными (модуль).

Для нечетных функций u(t) коэффициенты а₀ , а_n равны нулю, и спектр будет содержать только синусные гармоники. Для четных функций ситуация противоположная, коэффициенты а₀ , а_n не равны нулю, а коэффициенты b_n - равны нулю.

В радиоэлектронике часто применяются униполярные прямоугольные периодические импульсы напряжения (Рис. 2.12 ), с амплитудой Е, длительностью τ и периодом повторения Т. В соответствии с выбором начала координат исследуемая функция – четная. Амплитудный спектр будет содержать постоянную составляющую а₀ и косинусные гармоники С_n = |a_n|.

Разложение заданной функции времени в ряд будет иметь вид:

Полученный спектр позволяет сделать ряд выводов.

1. Нулевая гармоника исходных прямоугольных импульсов (среднее значение напряжения) имеет величину:

,

Отношение k_ЗАП = τ / T называется коэффициентом заполнения импульсов, 0 ≤ k ≤ 1.

Коэффициент заполнения импульсов показывает, насколько период «заполнен» импульсом, он определяется как отношение площади импульса к периоду. При стремлении k_ЗАП к единице U_СР стремится к Е.

2. Спектр импульсов бесконечен, однако, основная часть энергии импульса сосредоточена в низкочастотной области спектра, содержащей несколько «лепестков», каждый из которых занимает область частот: Δω = 2π/τ. При уменьшении длительности импульса увеличивается полоса частот спектра, необходимая для передачи импульса.

3. Периодические функции обладают дискретным спектром. Расстояние по оси частот между отдельными гармониками зависит от периода повторения импульсов. Если увеличить период импульсов вдвое при неизменном τ , то количество вертикальных линий спектра удвоится при неизменной огибающей.

Комплексная форма записи ряда Фурье более компактна.

.

Предельное увеличение периода повторения импульсов Т в последних формулах приведет к тому, что вместо частоты первой гармоники ω₁ появится текущее значение ω, а вместо суммы появится интеграл. В результате получим выражения для прямого и обратного преобразования Фурье.

При анализе частотных свойств цепей наибольший интерес представляет огибающая спектра, которую называют спектральной характеристикой, или спектральной плотностью. Прямое преобразование Фурье позволяет определить спектральную характеристику для заданной функции времени, выполнить переход из временной области в частотную.

Обратное преобразование Фурье позволяет определить функцию времени по заданной спектральной характеристике, выполнить переход из частотной области во временную.

Определим спектральную плотность прямоугольного импульса с амплитудой Е и длительностью τ.

График спектральной плотности представлен на рис. .

При ω= 0 имеем S(ω) = 1, так как

Функция S(ω) = 0 при ωτ/2 = π, или ω = 2 π /τ. При увеличении ω амплитуда лепестков убывает.

В преобразованиях Фурье используются бесконечные пределы интегрирования по времени и по частоте. Это сделано с целью получения компактной формы записи преобразований в общем виде и для упрощения вычислений интегралов.

Значения t < 0 характеризуют предысторию процесса u(t), а изменение времени в бесконечных пределах соответствует ситуации: процесс был давно, есть сейчас и будет долго. При вычислении интеграла на конечном интервале времени возникают погрешности. Анализаторы спектра, вычисляющие спектральную плотность, используют конечное, но достаточно большое количество выборок реального сигнала и алгоритм быстрого преобразования Фурье ( БПФ, англ. - FFT).

Поясним понятие «отрицательная частота». В теории переменных токов амплитуда переменного напряжения А получается как проекция вектора на одну из осей комплексной плоскости, например действительную. Направление вращения вектора принимается обратным вращению часовых стрелок. Однако проекция А изменяется точно так же, когда вектор вращается по часовой стрелке. Поэтому синусоида может рассматриваться как сумма проекций двух векторов, вращающихся с равными скоростями в противоположных направлениях и совпадающих в горизонтальных направлениях. Один вектор соответствует положительной частоте, а другой – отрицательной.

Колебательные контуры

Колебательные контуры широко применяются в радиотехнических устройствах. При этом используются резонансные свойства колебательных контуров.

Последовательный колебательный контур образуется последовательным соединением элементов R, L, C.

Резонансной частотой ω₀ колебательного контура называется частота, при которой реактивная составляющая полного сопротивления контура равна нулю.

. Из равенства находим выражение для резонансной частоты. .

На частоте ω₀ реактивные сопротивления индуктивности и емкости равны. Характеристическим сопротивлением контура называется сопротивление индуктивности, или емкости на резонансной частоте

Входное сопротивление последовательного контура при резонансе на частоте ω₀ чисто активное:

R_рез = r, в идеальном случае стремится к нулю

Для параллельного контура

Добротностью контура называется отношение напряжения на индуктивности, или на емкости к напряжению на активном сопротивлении при резонансе.

>>1

Резонансное сопротивление параллельного контура на частоте ω₀ чисто активное:

В идеальном случае стремится к бесконечности.