Прогнозирование экономических явлений при помощи моделей кривых роста

При прогнозировании социально - экономических показателей с помощью кривых роста необходимо:

1) Выбрать одну или несколько кривых, форма которых соответствует характеру изменения выбранного ряда. Наиболее простой способ выбора формы кривой роста - визуальный, опирающийся на графическое изображение уровней временного ряда.

Все кривые роста можно разделить на три класса.

К 1-му классу относятся функции, используемые для описания процессов с монотонным характером развития и отсутствием пределов роста

-многочлены различных порядков , (прямая, если р=1; парабола 2-го порядка, если р=2),

- показательные (экспоненциальные) кривые ,

- логарифмические кривые.

Ко 2-му классу относятся кривые, описывающие процесс, который в исследуемом периоде имеет предел роста. Функции, относящиеся ко 2-му классу, называются кривыми насыщения (модифицированная экспонента , гиперболические кривые ).

Если кривые насыщения имеют точку перегиба, то их относят к 3-му классу кривых роста и называют S - образными кривыми. Эти кривые рассматривают два последовательных процесса: один с ускорением в развитии, другой – с замедлением. Такие процессы часто рассматриваются в демографии, страховании, при определении спроса на новый вид продукции. К S-образными кривыми относятся логистические кривые , и кривая Гомперца .

2) После выбора типа кривой роста оцениваются коэффициенты выбранных кривых роста. Чаще всего оценки параметров модели определяются при помощи метода наименьших квадратов, суть которого состоит в нахождении таких параметров, при которых сумма квадратов отклонений расчетных значений уровней от фактических значений была бы минимальной, т.е. оценки параметров находятся в результате минимизации выражения:

где n- длина временного ряда

y_t - фактические значения уровней временного ряда;

- расчетные значения.

Так, система нормальных уравнений для оценивания параметров прямой:

Для параболы 2-го порядка система нормальных уравнений выглядит следующим образом:

Для оценки параметров a и b нужно сначала прологарифмировать выражение.В результате этого мы получим уравнение прямой:

log y_t= A + Bt,

где А = log a ,B = log b.

При нахождении параметров гиперболической функции в системе необходимо t заменить на 1/t. Для оценивания параметров модифицированной кривой, кривой Гомперца и логистической кривой можно применять упрощенные методы: метод трех сумм, метод трех точек.

3) После определения коэффициентов моделей кривых роста необходимо осуществить проверку адекватности выбранных кривых исследуемому процессу, оценить точность моделей и произвести окончательный выбор кривой роста. Проверка адекватности выбранных моделей реальному процессу строится на анализе случайной компоненты. Принято считать, что модель тренда адекватна описываемому процессу, если значения остаточной компоненты e_t (e_t = y_t-- ) удовлетворяют свойствам случайности, независимости, нормальности распределения. Если случайная компонента удовлетворяет этим свойствам, то выбранную кривую роста можно использовать для определения прогноза.

Но применение моделей кривых роста для прогнозирования должно базироваться на предположении о неизменности, сохранении основной тенденции, как на всем периоде наблюдений, так и в прогнозируемом периоде.

4) После проверки моделей на адекватность и выбора наилучшей из моделей производится расчет точечного и интервального прогнозов.

Прогнозные значения можно найти путем подстановки в уравнение кривой значений времени t , соответствующих периоду упреждения (т.е. t = n+1, …, n+l). Полученный таким образом прогноз называют точечным. Но, как правило, при прогнозировании социально - экономических показателей «фактическое попадание в точку» маловероятно, и поэтому, прогноз должен быть определен в виде интервала значений.

Несовпадение фактических данных с точечным прогнозом, полученным путем экстраполяции, может быть вызвано: 1) ошибочностью выбора формы линии тренда; 2) погрешностью оценивания параметров кривой роста; 3) погрешностью, связанной с отклонениями отдельных наблюдений от тренда.

Погрешность, связанная со вторым и третьим ее источником, может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза, который в общем виде определяется как

где - точечный прогноз на период t = n + l ; t_a - значение t-статистики Стьюдента, - среднее квадратическое отклонение фактических данных от расчетных, где k - число оцениваемых параметров выравнивающей кривой.