Случай двух синфазных излучателей
Сферическая волна
Такая волна порождается точечным источником и распространяется во все стороны, амплитуда её уменьшается обратно пропорционально расстоянию, поскольку энергия проходит через большую поверхность.
Ψ( ,t) = A(r) cos (ωt – ), где A(r) =
Цилиндрическая волна
Волна порождается протяжённым источником колебаний (нить, тонкий цилиндр). Амплитуда А , где ρ – полярный радиус.
Ψ( ,t) = A(ρ) cos (ωt – ),
§ 1.2 Волновое уравнение для плоских волн
Непосредственной подстановкой можно убедиться, что уравнение
= υ2 (1.2)
Удовлетворяется, если Ψ(х ,t) = A cos (ωt - kx + φo) или комплексной форме Ψ(х ,t) = А
(1.2) - известное волновое уравнение. Это линейное дифф. уравнение второго в частных производных.
= -Аω2 cos (ωt - kx + φo); = -Аk2 cos (ωt - kx + φo); = υ2
Для волны произвольного направления = kxx + kyy + kzz и
ψ(x,y,z) = ψ( ) соответственно:
ψ(x,y,z) = или
| + + = (1.2.а) |
Для получения однозначного решения необходимо задание начальных и граничных условий!
Дисперсия
Соотношение υ2 = определяет связь фазовой скорости, циклической частоты и волнового числа. Оно носит название дисперсионного уравнения. Зависимость ф. скорости от частоты (волнового числа) называют дисперсией. Это одна из важнейших сторон распространения волн в реальных средах.
Различают нормальную, аномальную дисперсии и отсутствие оной (нулевую дисперсию).
Разложение призмой белого света в спектр – проявление дисперсии.
§ 1.3 Принцип суперпозиции (1.3.1) и спектр колебаний (1.3.2)
1.3.1.
Т.к. волновое ур-е является линейным, то алгебраическая (или векторная) сумма двух (и более) любых решений также является его решением.
Ψ12 = 1 Ψ1 + 2 Ψ2 (*); ψ =
Убедиться в этом можно непосредственной подстановкой (*) в волновое ур-е.
В математике представление сложной функции в виде набора гармонических составляющих называется разложением Фурье.
Для волн (функции двух переменных) оно имеет вид:
Ψ(х ,t) =
1.3.2. Спектр колебаний
Различают частотный и энергетический спектры.
Зависимость амплитуды гармонических составляющих от частоты определяет частотный спектр. Важнейшая характеристика волнового сигнала.
Т.к. энергия пропорциональна квадрату амплитуды , то то энергетический спектр и есть зависимость А2 от ω.
К гл. 2 УПРУГИЕ ВОЛНЫ
Такие волны возникают в среде при наличии квази упругих сил. В твёрдых телах они обусловлены смещением атомов (молекул) или ионов из положения равновесия вследствие возмущения среды, в жидкостях или газх
Изменяется плотность в соответствующих элементах среды.
§ 2.1 Цепочка атомов и волновое уравнение для непрерывной среды
Наблюдение показывает, что если смещение источника возбуждения колебаний происходит по гармоническому закону, то получаем бегущую волну
Ψ(х ,t) = А ,
где -координата n –го атома.
Фазовая скорость при нулевой дисперсии υр сs = ,
где – расстояние между атомами в цепочке, KF – коэфф. упругости при поперечных смещениях, m – масса атома.
От дискретного уравнения можно перейти к ур. для непрерывной среды
= сs2 ,
Т.е. к обычному волновому уравнению.
В газах и жидкостях возникают продольные волны сжатия и разряжения, причём в качестве волновой функции выступает давление р(x,t) в среде:
= сs2 ,
Фазовая скорость в газах cs = . Здесь Т – абсолютная температура, k – постоянная Больцмана, γ – постоянная адиабаты γ = .
В жидкостях можно пользоваться формулой
cs = .
Фазовая скорость продольных (плоских) волн
cs =
Здесь и выше ρ – плотность среды, Е – упругая хар-ка (модуль Юнга, играет роль коэффициента жёсткости).
§ 2.2 Энергия упругих волн
Энергия волны складывается из потенциальной и кинетической энергии элементов среды.
Для гармонической волны Ψ(х ,t) = A cos (ωt - kx) кинетическая энергия единицы объёма
wk = ρυ2 = sin2 (ωt - kx)
Потенциальная энергия запасается в результате работы источника против упругих сил
wp = ( )2 = sin2 (ωt - kx)
Характерно, что объёмные плотности энергии кинетической и потенциальной энергий волны (колебаний) совпадают!
Полная энергия ед. объёма (объёмная плотность)
w = wk + wp = sin2 (ωt – kx)
Плотность потока энергии (вектор Умова) определяют как произведение
= w
Модуль этого вектора называют интенсивностью волны
Is = ρ cs2 ω2 A2
Интенсивность волны можно определить как энергию, переносимую (падающую) в единицу времени через единичную площадку (т.е. это мощность, приходящаяся на единицу площади).
Это важнейшая хар-ка волны.
Гл.3 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
§ 3.1 Волновое уравнение для эл.-м.волн
3.1.1.Уравнения Максвелла для волнового поля
Эл.-маг. волны это переменные эл. и маг. поля или иначе возмущения в виде полей. К их наличию при определённых условиях можно прийти исходя из классической теории Максвелла.
Система уравнений М. в дифф. форме:
rot = - (I); div = ρ (III);
rot = + (II); div = 0 (IV);
= εo ε (V); = μo μ (VI); = γ (VII).
Однозначность их решений определяется начальными и граничными условиями.
Однажды возбуждённое эл.-м. поле может существовать само по себе, независимо от источников в форме волны в области, где нет свободных зарядов и нет переменных токов.
3.1.2. Волновое уравнение
Итак: пусть среда однородна и изотропна и нет в ней свободных зарядов и макротоков (j = 0, ρ = 0).
Допустим, что плоская волна распространяется в направлении оси ОХ.
Тогда: функции (х,t) и (х,t) и их проекции не будут зависеть от z и у, а производные , и (здесь i= z,у,x) будут равны нулю.
Учитывая, что:
[ rot ]x = - - μo μ , и выражая аналогично
[ rot ]z и [ rot ]z ,
получают:
- μo μ = , εo ε = - (*)
εo ε = , - μo μ = - , (**)
Достаточно воспользоваться первой парой уравнений (*) для Ey и Hz , причём будем исключать наличие статических полей Ex и Hx
(т. к. имеем , = 0). Для Ez и Hy ситуация подобна.
Дифференцируя по t второе ур-е в (*), меняя порядок производной по времени и координате ( = ) и используя первое уравнение (*)
получаем:
=
Приняв за квадрат фазовой скорости υ2 приходим к волновому уравнению для плоской волны Еу (х,t). Второе уравнение для Нz (х,t) получают аналогично. Итак:
| = υ2 (2.1) = υ2 |
Волновое ур-е эл.-м. волны включает два независимых уравнения для Еу (х,t) и Нz (х,t), их вид – и есть решения (2.1):
Еу (х,t) = Еm cos(ωt - kx + φoE)
Hz (х,t) = Hm cos(ωt - kx + φoH)
В экспоненциальной форме
Еу (х,t) = Еm
Hz (х,t) = Hm
§ 2.2 Характеристики эл.-м. волны
Поперечность эл.-м. волны
Мы пришли к тому, что плоская волна распространяется в направлении 0Х
При этом: = Еy ; = Hz или ^ , волна поперечна.
0Х – нормали к к её фронту. который У0Z.
Фазовая скорость
υф υр =υ и направлена по 0Х. υ = =
Тройка векторов , и - правовинтовая.
В вакууме ε =1, μ =1, соответственно υф = с – скорости света
В среде υф = .
Синфазность волн
Если записать решения для Еу (х,t) и Hz (х,t) в экспоненциальной форме и
воспользоваться вторым уравнением пары (*), то
k Hm = εoε ωEm (***) или
Равенство возможно только при условии,что
=
Связь амплитуд
Из (***) также следует с учётом взаимосвязи ω, υ и k
Em = Нm
В принципе, это связь между Е и Н.
Поляризация эл.-м. волны
Волна поперечна. Вектор колеблется в плоскости УХ, в пл. ZХ.
[ ] 0Х
Отметим, что в электромагн. волне силовым вектором является .
Отношение эл. и маг. сил, действующих на движущийся cо скоростью υ заряд в поле волны
= ,
c – скорость света.
§ 2.3 Энергия эл.-м. волны
2.3.1. Объёмная плотность энергии
Выражения для объёмных плотностей эл. и маг. полей нам известно:
wэ = εoεE2, wм = μμoН2
Полная энергия единицы объёма с учётом амплитудных соотношений и соответственно равенства wэ = wм
w = wэ + wм = εoε E2 = μoμН2
Для среднего: = (ωt – kx) dx =
= εεo = μμo
Полная энергия: W = dV
2.3.2. Поток энергии. Вектор Пойнтинга
Если за поток энергии принять
Ф = -
количество энергии переносимое за ед. времени через некоторую площадку то плотностью потока энергии является
П =
Для электромагнитной волны указанная величина введена Пойнтингом. Это вектор сонаправленный вектору групповой скорости υг .
Как и для вектора Умова, используя величину объёмной энергии w , можно записать
= w г
В вакууме г = ф = и
Подставив значение w, запишем:
= εoε = = [ ]
Итак:
| = [ ] (2.3) |
Величина I , определяющая среднее значение модуля в. Пойнтинга
I =
называется интенсивностью волны. Это - скаляр.
I = dt = εεo c = Em Hm
| I = Em Hm (2.4) |
2.3.3. Переносимая мощность. Спектральная плотность мощности
Мощность энергии, излучаемая через поверхность S
Ns = dSn
Полная мощность, переносимая через замкнутую поверхность
N* = dSn
Величины
Nω = и Nλ =
соответственно характеризуют спектральную мощность приходящуюся на ед. интервал частоты или длины волны. Заметим, что нет естественных излучателей мощности на строго фиксированной частоте (длине) волны.
§2.4 Импульс эл.-м. волны. Световое давление.
С эл.-м. волной связан определённый импульс. Если в слабо проводящей среде плотность тока проводимости j, то на ед. объёма действует сила
ед.об. = [ ] = μ μо [ ]
Тогда: = ед.об. = =
Из релятивистского подхода должно следовать
= = =
При полном поглощении для импульса переданного среде через ед. площади в ед.времени (а это будет иметь смысл давления) получается:
Рдав. =
При наличии отражения с коэфф. ρ
Рдав. = (1 + ρ) = w (1 + ρ)
Гл.4 СЛОЖЕНИЕ ВОЛН
§ 4.1 Волновые пакеты (4.1.1). Бигармоническая волна (4.1.2)
4.1.1.
Гармоническая волна – идеальная модель. Процесс происходит за конечное время и формируется в ограниченном пространстве. В соответствии с принципом суперпозиции произвольную волну в линейной среде можно представить в виде группы (гармонических!) волн или волнового пакета.
Пример такого пакета – гармонический цуг со сложной спектральной плотностью амплитуды А(ω) = Аω dω.
Временной и пространственный спектры оказываются идентичными
( А(k) = Ak dk ) при отсутствии дисперсии. В силу преобразования Фурье формы огибающих спектра и цугов взаимно обратимы.
Также в силу того, что фазовые скорости волн, образующих пакет,
одинаковы, его форма сохраняется. В противном случае, когда υ = f (ω),
волновой импульс “расплывается”.
4.1.2. Бигармоническая волна
Рассмотрим пространственный пакет из двух близких волн, когда:
А1 = А2 = А; ω1 = ω – dω, ω2 = ω + dω; k1 = k – dk , k2 = k + dk
Итак:
Ψ1 (x,t) = А1 cos [(ω – dω)t – (k – dk)x]
Ψ2 (x,t) = А2 cos [(ω + dω)t – (k +dk)x]
Используя формулу cos α + cos β = 2 cos cos , получаем, пренебрегая бесконечно малыми
Ψ (x,t) = Ψ1 + Ψ2 = 2А cos (tdω - xdk) cos (ωt -k x)
Имеем в итоге амплитудно - модулированную гармоническую волну.
Ψ(t) представляет процесс, называемый биениями с периодом Тмод. = .
§ 4.2 Групповая скорость. Соотношения Рэлея
Скорость переноса центра нашего пакета (максимальной амплитуды Аm = 2А) находят дифференцированием из условия (tdω - xdk) = const и называют её групповой
υг =
Связь между фазовой и групповой скоростью дана Рэлеем:
υг = = υф +k
или
υг = υф - λ ,
если учесть, что:
k = , dk = - dλ
Итак, формулы Рэлея:
| υг = υф + k (4.1) υг = υф – λ |
Они получаются и для многоволнового пакета.
§ 4.3 Соотношение неопределённости для волн
Для волнового пакета с набором волн с частотами ω(k) и волновыми числами из интервала k - k, k + k, описываемого функцией
Ψ (x,t) = (k) cos [ω(k)∙t – kx] dk
амплитуда превращается в нуль, когда сдвиг по фазе каждой волны достигает относительно волны суперпозиции.
Значения огибающей пакета за пределами / k будут незначительными. Таким образом, соотношениями определяющими область локализации пакета являются
| kx , ky , (4.2) kz |
Чем меньше область локализации пакета, тем больше разброс волновых чисел и наоборот. Данную связь называют соотношением неопределённости для волн.
Аналогичное соотношение характеризует временную локализацию пакета и носит название теоремы о ширине полосы частот
| (4.3) |
Уменьшение временной длительности пакета ( t) приводит к расширению частотного спектра гармонических волн, формирующих заданный импульс.
Фурье – разложение пакета по частотам имеет вид:
Ψ (x,t) = (ω) cos [ωt – k(ω)∙x] dω
При нормальной дисперсии волны с более высокими частотами распространяются с меньшими фазовыми скоростями, что приводит к размытию пакета.
§ 4.4 Круговая и эллиптическая поляризация как результат
сложения двух векторных волн
Рассмотрим суперпозицию двух гармонических линейно поляризованных плоских и взаимно-перпендикулярных волн
(z,t) = Exo cos (ωt – kz + α)
(z,t) = Eyo cos (ωt – kz)
Если α = 0, то векторная сумма – плоская волна с амплитудой
Em =
Направление колебаний волны составляет с осью 0Х угол β, причём β
β = arc tg ( )
Если угол α = + , тогда:
(z,t) = Exo sin (ωt – kz)
(z,t) = Eyo cos (ωt – kz)
и соответственно
+ = 1
Это уравнение эллипса, который в сечении z = 0 вычерчивает конец результирующего вектора , вращающегося против часовой стрелки с угловой скоростью ω. При α = - вращение будет по часовой стрелке.
Наконец, если Exo = Eyo =Eo вместо эллипса вычерчивается круг. (Говорят соответственно о “левой” или “правой” эллиптических и о “круговой” поляризациях волны.
Таким образом из двух взаимно-перпендикулярных волн можно сформировать волну любой поляризации.
Интесивность волн неполяризованного (естественного) света I(φ) одинакова по всем направлениям. Для частично поляризованного света вводят величину η, определяющую степень его поляризации
η = .
Гл.5 ЯВЛЕНИЕ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ
Под интерференционным эффектом понимают такую суперпозицию волн в пространстве, в результате которой возникает устойчивая картина чередования максимумов и минимумов интенсивности суммарного волнового поля.
§ 5.1 Интерференция от двух источников
5.1.1. Суперпозиция волн от двух источников
Рассмотрим наложение волн одинаковой поляризации, порождаемых двумя гармоническими источниками S1 и S2 , совершающих колебания с одинаковой частотой ω1 = ω2 = ω.
В произвольной точке М волновые функции складываемых волн
ψ(x1,t) = А1 cos (ωt – kr1 +α1) = А1 cos t)
ψ(x2,t) = А2 cos (ωt – kr2 +α2) = А2 cos t)
Квадрат амплитуды результирующего колебания в точке М равен:
А2 = + +2A1 A2 cos [ t) - t)] (5.1)
Видим, что определяющим здесь является значение разности фаз складываемых волн.
5.1.2. Понятие о когерентности
Условием стационарности интерференционной картины является
φ = [ t) - t)] = const
Волны называются когерентными, если их разность фаз имеет постоянное (но своё в каждой точке) значение или является закономерной функцией времени.
Когерентные волны могут быть получены только от когерентных источников c независящей от времени разностью фаз.
Если в (5.1) […] =0, то А = А1 + А2 ;
При […] = π, А = А1 - А2
У реальных источников излучения разность фаз не остаётся постоянной сколь угодно долго. У тепловых излучателей за время τ (10-11 10-13)с она достигает значений π 2π. Величину τ называют временем когерентности. Оно в соответствие с теоремой о ширине полосы частот
подчиняется условию
τ = .
За время наблюдения t τ среднее cos φ =0 и интенсивность результирующего поля I = I1 + I2 .
Используют также характерный параметр lk = τ·υф - длину когерентности.
5.1.3. Условия максимального (а) и минимального (б) ослабления волн
(а).
Полагая в (5.1) разность фаз раной нулю, имеем:
сos φ = 1, Amax =A1 + A2 и это при
k (r1 - r2 )= 2 πm, где m =0, 1, 2, 3…
Величину (r1 - r2 )= r называют геометрической разностью хода лучей. Т.к. k = , получаем условие для интерференционного максимума:
| r = m λ (5.2) |
(б).
При сos φ = -1 из (5.1) следует А2 = = (A1 –A2)2 или Amin = │A1 – A2│
Иначе: k (r1 - r2 )= (2m + 1)π Отсюда вытекает условие для минимума
r = (2m + 1)
5.1.4. Перераспределение энергии
Используя связь I A2 выражение (5.1) запишем в виде:
I = I1 + I2 +2 cos φ
Усиление интенсивности при φ 0
При этом: Imax = ( + )2 для φ = 2πm
Imin = ( - )2 для φ = (2m +1) π
Перераспределение интенсивности важнейшее свойство интерференции.
При I1 = I2 = I имеем: Imax = 4 I и также Imin = 0
§ 5.2 Стоячие волны
Стоячей волной называют суперпозицию двух встречных бегущих гармонических волн одинаковой поляризации, частоты и амплитуды.
Реализуется при интерференции падающей и отражённой волн.
5.2.1. Уравнение волны
Пусть ψ1 = А1 cos (ωt - kx) и ψ2 = А2 cos (ωt + kx), где А1 = А2 = А
Тогда: ψ = ψ1 + ψ2 = ∙2А cos kx cos ωt
Амплитудой стоячей волны является Аст. = │2А cos kx│
Точки среды, где Аст. = 0 называются узлами ст. волны.
Координаты узлов определим из условия kx =(2m +1)
хуз. = (2m +1) (m =0, 1, 2, 3…)
Точки среды, где Аст. = 2А называются пучностями ст. волны
Координаты пучностей определим из условия kx = πm
хпуч.. = m (m =0, 1, 2, 3…)
Фаза стоячей волны. Между любыми ближайшими узлами фаза всех точек - одинакова и равна ωt. Она меняется скачком при переходе через узел.
5.2.2. Стоячая электромагнитная волна
Уравнения стоячей волны
Колебания совершают два вектора и . Они составляют правую тройку с вектором .
Волновые функции для складываемых волн:
(x,t) = Eo cos (ωt – kx)
1 (x,t) = H0 cos (ωt – kx) - у бегущей вправо волны
(x,t) = Eo cos (ωt + kx)
2 (x,t) = - Ho cos (ωt + kx) - у встречной, влево бегущей волны
Суммируем: = + =2 Eo cos kx cos ωt
= + =2 Ho sin kx sin ωt
Видно, что эл. и магн. составляющая различаются по фазе на , а по времени соответственно на .
5.2.5. Энергия стоячих волн
Поскольку групповые скорости первичной и отражённой волн противоположны, вектор Умова-Пойнтинга результирующей (стоячей) волны равен нулю:
= пад.+ отр. = w g + w(- g) = 0
Полная энергия колебаний в стоячей волне между узлами остаётся постоянной, она только периодически переходит из кинетической эн. в потенциальную и наоборот. Особенность этих энергий в стоячей волне, что они локализованы в разных частях системы и максимальны в разные моменты времени.
Объёмная плотность кин. энергии
wk = ( )2 = 2ρω2A2 cos2 kx ∙sin2 ωt
wп = ( )2 = k2 A2 sin2 kx ∙cos2 ωt
wk = wп
Максимумы кин. энергии находятся в пучностях, а потенц. эн. в узлах волны.
В плоской стоячей электромагнитной волне
wE = = 2 cos 2kx∙cos 2ωt
wH = = 2 sin2 kx∙sin2 ωt
Легко видеть в какие моменты времени и в каких областях пространства эти обёмные плотности энергии максимальны или минимальны.
5.2.6. Влияние границ на характер отражения
Важны при образовании ст. волны условия отражения от преграды: от этого зависит – будет на границе узел или пучность.
Два обстоятельства следует учитывать:
1) Ψ(x,t) – непрерывная функция координат;
2) Сумма потоков падающей и отражённой волне - постоянная величина.
Для упругих волн решающим оказывается так называемо волновое сопротивление среды (параметр z = ρсs). При отражении от более плотной среды (z1 z2) на границе раздела возникает узел стоячей волны, при обратном соотношении (z1 z2) на границе раздела наблюдается пучность стоячей волны.
Для электромагнитной волны z = , (Для вакуума z = 377 Ом)
Более плотной диэлектрической средой оказывается диэлектрик с большим показателем преломления ( n = ). В итоге при при отражении волны от границы раздела сред для случая n1 n2 фаза вектора меняется на π, вектор фазу не изменит; в обратном случае n1 n2 неизменным окажется направление колебаний вектора , фаза вектора изменится на π. Тройка векторов , и всегда правовинтовая, в стоячей волне Е и Н колеблются со смещением по отношению друг к другу на .
5.2.7. Резонанс колебаний
В ограниченном пространстве при возникновении стоячей волны не подавляются колебания удовлетворяющие условию φ = 2πm
Выполнение этого для всех пар падающих и отражённых волн таким образом является резонансным.
Для “жёсткой” границы с обоих концов (для стержня)
Ψ(0,t) = 0 и Ψ(l,t) = 0
При этом λт = , ωm =
Для “мягкой” границы c правого конца ( x=l)
Ψ(0,t) = 0 и Ψ(l,t) = Ψmax(t)
λт = , ωm =
Заданное распределение амплитуд в стоячей волне называют модой резонансной системы; наинизшая мода называется основной.
§ 5.3 Положения геометрической и волновой оптики
5.3.1. Некоторые понятия
Оптикой называют раздел физики, в котором изучаются закономерности излучения, распространения и взаимодействия света с веществом.
В геометрической оптике пренебрегают волновой природой света и рассматривают его как совокупность лучей, подчиняющихся определённым закономерностям.
Классическая волновая оптика исходит из линейности сред распространения света (ε и μ полагают не зависящими от напряжённости эл. поля световой волны).
И наоборот, нелинейная оптика (сложилась сравнительно недавно) исходит из наличия таких зависимостей. Нелинейные эффекты проявляются при высоких интенсивностях (лазерные источники) излучения.
В изотропных средах в большинстве случаев μ .
Абсолютным показателем преломления среды является
n = =
Длины волн в вакууме λ0 и среде λ связаны соотношением: = n.
5.3.2. Интерференция в практически параллельных лучах
Иначе в “дальней зоне” (λ ).
Случай двух синфазных излучателей
(например, точечных источников или параллельных узких щелей – Юнга).
Геометрическая разность хода r = r2 - r1 = d sin θ
Оптическая разность хода rопт. = n( r2 - r1) = n r = n d sin θ
Максимум интенсивности при условии rопт. = m λ, m = 0, 1, , 2, , 3…