В некоторых случаях для нахождения искомого интеграла формулу интегрирования по частям приходится применять столько раз какова степень многочлена.

Пример 7. .

Пусть U=

Тогда dU=d(

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

Так как многочлен второй степени, то в результате однократного интегрирования степень его понизилась на единицу, поэтому получившийся интеграл мы должны еще раз проинтегрировать, чтобы он уничтожился и остался табличный интеграл.

Пусть U=x; dV=cosxdx.

Тогда dU=dx; V=

+cosx+C.

Подставляя полученный результат в первоначальный интеграл, имеем:

Пример 8. .

Этот интеграл относится к третьей группе интегралов.

Пусть U=cosx; dV=

Тогда dU=-sinxdx; V=

Рассмотрим

Пусть U=sinx; dV=

Тогда dU=cosxdx; V=

Подставим найденное значение в (1):

Переносим из правой части в левую с противоположным знаком, получим: 2 Из полученного уравнения находим чему равен искомый интеграл, поделив обе части равенства на 2.

Задание №17.

№	ЗАДАНИЕ	ОТВЕТ
1.
2.		(x-1)cosx-sinx+C
3.		x·arcsinx+
4.

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1.

4.

УКАЗАНИЯ К ОТВЕТАМ

Задание №1

№ п/п	№ ответа	Пояснения
1.	1.	2 как постоянный множитель нужно вынести за знак интеграла (свойство1) и только после этого интегрировать.
2.	Забыли С.
3.	Верно.
4.	Дифференцируете функцию, а не интегрируете.
5.	Функция вынесена за знак интеграла, а не проинтегрирована, см. .
2.	1.	Интеграл от произведения двух функций не равен произведению этих функций. Нужно предварительно раскрыть скобки в подынтегральном выражении и воспользоваться свойствами 3 и 4, и .
2.	Верно.
3.	Забыли С. См. определение интеграла.
4.	Неверно применили , показатель степени и знаменатель равные (n+1), а не n.
5.	Неверно применили Деление на степень не сделали.
3.	1.	Верно.
2.	Забыли С.
3.	Интеграл дроби не равен отношению интеграла числителя к интегралу знаменателя. Подынтегральное выражение нужно предварительно преобразовать. См. , пример 3.
4.	Вы ошиблись при замене корня дробным показателем:
5.	Нельзя отдельно интегрировать сомножители, делимое и делитель. См. , пример 3.
5.	1.	Верно.
2.	Нашли производную вместо интеграла. См. .
3.	Неверно. Забыли С.

Задание №2.

№ п/п	№ ответа	Пояснения
1.	1.	В нужно вынести . Вы вынесли 5, получили: Следовательно t= , что неверно.
2.	Верно.
3.	Не верно. Забыли С.
2.	1.	Верно.
2.	Нужно предварительно раскрыть скобки и применить свойства 2 и 1, и .
3.	Нашли производную вместо интеграла. См. и .

Задание №3.

№ п/п	№ ответа	Пояснения
1.	1.	Не верно. Забыли С.
2.	Дифференцируете вместо того, чтобы интегрировать.
3.	Верно.

Задание №4.

№ п/п	№ ответа	Пояснения
1.	1.	Верно.
2.	В ошибочно использована вместо .
3.	Не верно. Забыли С.
2.	1.	В вместо взяли и вместо (n+1) взяли (n-1). См. и .
2.	В нужно применить , а не . См.
3.	Верно.

Задание №5.

№ п/п	№ ответа	Пояснения
1.	1.	Вы его потеряли. См. свойство 3 или при n=0.
2.	Ошиблись в знаке
3.	Верно.
	, а не 1. См. свойство 3.
2.	1.	Верно.
2.	Ошибка в знаке. Должно быть -5cosx. См. .
3.	не является интегралом типа . См. .
4.	, а не 5.

Задание №6

№ п/п	№ ответа	Пояснения
1.	1.	Ошибка в знаке. Должно быть 2sinx.
2.	Верно.
3.	Интеграл отношения не равен отношению интегралов. Следовательно sin2x=2sinx·cosx, а затем . А далее используйте формулу.
2.	1.	Ошибка в знаке. Должно быть -3sinx. См. .
2.	Верно.

Задание №7.

№ п/п	№ ответа	Пояснения
1.	1.	Ошибка в См. . Следует разделить числитель на знаменатель.
2.	Верно.

Задание №8.

№ п/п	№ ответа	Пояснения
1.	1.	Ошибка в знаке . См. .
2.	Верно.
2.	1.	Верно.
2.	Ошибка в знаке . См. .

Задание №9.

№ п/п	№ ответа	Пояснения
1.	1.	Верно.
2.	Ошибка в . См. .
3.	Ошибка в . См. .
4.	Потеряно С.

Задание №10.

№ п/п	№ ответа	Пояснения
1.	1.	Ошибка в . См. .
2.	Ошибка в . См. .
3.	Верно.
4.	Потеряно С.

Задание №11.

№ п/п	№ ответа	Пояснения
1.	1.	Верно.
2.	Вместо dx подставили просто dt, не учитывая, что при дифференцировании (5+3х) получается 3dx, следовательно, 3dx=dt, а dx= , см. .
3.	Вы не проинтегрировали, а продифференцировали функцию.
4.	Потеряно С.
2.	1.	Нашли производную вместо интеграла.
2.	Потеряли коэффициент при dt. 5dx=dt; dx= . См. .
3.	Верно.
4.	Потеряно С.
3.	1.	Потеряли знак: . См. .
2.	Верно.
4.	1.	Потеряли коэффициент при dt. .
2.	Верно.
3.	Ошиблись в показателе, вместо взяли -3.
5.	1.	Потерян знак d(cosx)=-sinxdx.
2.	Вместо n+1 взяли n-1.
3.	Верно.
6.	1.	Потерян знак d(3-sinx)=-cosxdx.
2.	Верно.
3.	Вместо n+1 взяли n-1.
7.	1.	Верно.
2.	Потеряно С.
3.	Потерян знак.
8.	1.	Интеграл типа , а не , т.к. n=-5, а не n=-1.
2.	Верно.
3.	Вместо n=-5 взяли n=5.

Задание №12.

№ п/п	№ ответа	Пояснения
1.	1.	Потеряли коэффициент .
2.	Ошибочно использовали , хотя здесь n=-1, и взяли n-1 вместо n+1, что дало бы 0.
3.	Верно.
2.	1.	Потеряли коэффициент .
2.	Ошибочно приняли
3.	Верно.
3.	1.	Вместо взяли и вместо (n+1) взяли (n-1).
2.	Верно.
3.	Нашли производную, а не интеграл.
4.	1.	Потеряли минус.
2.	Верно.
3.	Потеряли коэффициент .
5.	1.	Воспользовались , что неверно, т.к. tgx=f(x), а не x.
2.	Верно.
3.	Ошибочно заменили tgx через .

Задание №13.

№ п/п	№ ответа	Пояснения
1.	1.	Потерян минус в показателе степени.
2.	Верно.
3.	Потерян минус перед дробью.
2.	1.	Верно.
2.	Ошибочно применили . Этого нельзя делать, т.к. здесь показательная функция, см. .
3.

Задание №14.

№ п/п	№ ответа	Пояснения
1.	1.	Потеряли коэффициент , см. .
2.	Верно.
3.	Потеряли минус, см. .
2.	1.	Берете произведение интегралов и , что неверно.
2.	Потеряли коэффициент .
3.	Верно.
3.	1.	Потеряли коэффициент , см. .
2.	Верно.
3.	Потерян знак, см. .

Задание №15.

№ п/п	№ ответа	Пояснения
1.	1.	Потерян коэффициент , см. .
2.	Верно.
3.	Пользуетесь для n=-2, что неверно, т.к. в знаменателе не , а , см. .
2.	1.	Потерян коэффициент - , см. .
2.	Верно.
3.	1.	Неверно пользуетесь , надо применять .
2.	Верно.

Задание №16.

№ п/п	№ ответа	Пояснения
1.	1.	Потерян коэффициент , см. .
2.	Неверно применили См. и пример 1 к .
3.	Верно.
2.	1.	Потерян коэффициент , см. .
2.	Потерян коэффициент , получающийся при дифференцировании подстановки, см. .
3.	Верно.
3.	1.	Верно.
2.	Потерян коэффициент , получающийся при дифференцировании подстановки, см. .
3.	Вместо вынесли , что неверно.