РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТИПА 81–100

Задача. Даны координаты вершин треугольника : Требуется найти:

1) длину стороны ;

2) уравнения сторон и , их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол при вершине в радианах с точностью до 0,01;

4) уравнение медианы ;

5) уравнение и длину высоты ;

6) уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой и точку ее пересечения с высотой ;

7) уравнение окружности с центром в точке , проходящей через вершину .

Треугольник и все полученные линии построить в системе координат .

Решение.1) Расстояние между точками и определяется по формуле

(1)

воспользовавшись которой находим длину стороны :

.

2) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости и ,имеет вид

(2)

Подставляя в (2) координаты точек и , получаем уравнение стороны :

.

Угловой коэффициент прямойнайдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом .

У нас , то есть откуда .

Аналогично получим уравнение прямой и найдем ее угловой коэффициент:

.

Далее

т.е.

3) Для нахождения внутреннего угла нашего треугольника воспользуемся формулой:

(3)

Отметим, что порядок вычисления разности угловых коэффициентов, стоящих в числителе этой дроби, зависит от взаимного расположения прямыхи . Подумайте, как бы Вы стали искать внутренние углы и треугольника ?

Подставив ранее вычисленные значения и в (3), находим

Теперь, воспользовавшись таблицами В.М. Брадиса или инженерным микрокалькулятором, получаем рад.

4) Для составления уравнения медианы найдем сначала координаты точки , которая лежит на середине отрезка :

Подставив в уравнение (2)координаты точек и , получаем уравнение медианы:

.

5) Для составления уравнения высоты воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом , которое имеет вид

(4)

и условием перпендикулярности прямых и , которое выражается соотношением , откуда Подставив в (4) вместо значение , а вместо соответствующие координаты точки , получим уравнение высоты :

.

Для вычисления длины высоты воспользуемся формулой отыскания расстоянияот заданной точки до заданной прямой с уравнением , которая имеет вид

(5)

Подставив в (5)вместо координаты точки , а вместокоэффициенты уравнения прямой , получаем

.

6) Так как искомая прямая параллельна прямой , то . Подставив в уравнение (4) вместо координаты точки , а вместо значение , получаем уравнение прямой :

.

Для отыскания координат точки решаем совместно уравнения прямых и :

Таким образом,

7. Поскольку окружность имеет центр в точке и проходит через вершину , то по формуле (1) ее радиус

Каноническое уравнение окружности радиуса с центром в точке имеет вид

(6)

В нашем примере искомое уравнение выглядит следующим образом:

Треугольник , высота , медиана , прямая , точка и окружность построены в системе координат на рис. 1.