Теоретический материал к разделу. 4.1.1 Основные понятия о функциях нескольких переменных

4.1.1 Основные понятия о функциях нескольких переменных

Определение 1. Функцией двух (трех) переменных называется функция, область определения которой есть некоторое подмножество на плоскости (в пространстве), а область значений принадлежит действительной оси.

Если принадлежит плоскости , а оси , то такую функцию двух переменных записывают в виде

.

Пример1. Найти область определения функции .

Решение: Эта функция определена, если , , то есть , . Возведя в квадрат обе части предыдущего неравенства, получим , то есть . Далее, имеем Данная система будет выполняться, если выполняется одно из следующих соотношений

либо

В итоге, область определения функции можно записать в виде

.

Рисунок 1

Геометрически состоит из двух тупых углов, образованных прямыми , включая границы без точки (рис.1).

Пример 2.Найти область определения функции , где – положительное число.

Решение: Функция принимает действительные значения при условии

, то есть . Следовательно, областью определения данной функции является круг радиусом с центром в точке , включая граничную окружность, то есть .

4.1.2 Предел и непрерывность функции нескольких переменных

Определение 2.Число называется пределом функции

в точке , если для каждого найдется такое число что при всех из окрестности , кроме этой точки, выполняется неравенство

и обозначается в виде

.

Практически все свойства пределов, рассмотренные нами ранее для функций одной переменой остаются справедливыми и для пределов функций нескольких переменных, однако практическим нахождением таких пределов мы заниматься не будем.

Определение 3. Функция называется непрерывной в точке если выполняется три условия:

1) существует

2) существует значение функции в точке

3) эти два числа равны между собой, т.е. .

Пример 3. Найдем все точки, в которых непрерывна функция

.

Как было отмечено выше, эта функция определена в замкнутом круге

.

Внутренние точки этого круга является искомыми точками непрерывности функции, т.е. функция непрерывна в открытом круге .

4.1.3 Частные производные

Определение 4.Если существует предел , то его называют частной производной по [ по ] и обозначают:

.

Из определения 2 следует, что если берется частная производная по какой-либо переменной, то все остальные переменные считаются постоянными.

Пример 4. Дана функция .

.

Пример 5.Найти , .

Решение: Рассматривая как постоянную величину, получим

.

Рассматривая как постоянную величину, находим

.

4.1.4 Полный дифференциал

Определение 5. Функция , имеющая представление

, (1)

называется дифференцируемой, а её главная (линейная) часть – полным дифференциалом и обозначается

(2)

Из (1) следует, что . Или

Пример 6. Для найти .

Пример 7. Вычислить приближённо .

Решение: Рассмотрим функцию , где .

Тогда

.

4.1.5 Дифференцирование неявной функции

При условии существования и непрерывности имеем

Для функции двух переменных , .

Пример 8.

а) .

б)

.

4.1.6 Производная сложной функции. Полная производная

Пусть задана функция , где . Тогда, при условии существования непрерывных частных производных функций имеем

Если задана функция , где то

- формула полной производной.

Пример 9. Пусть , , .

Найдем частные производные сложной функции составленной из этих функций.

|подставим сюда значения и | = .

.

4.1.7 Теорема о смешанных производных

Пусть задана функция , имеющая частные производные и . Частные производные от и , если они существуют, будут частными производными второго порядка:

Аналогично можно найти частные производные порядка .

Теорема 1.Если и определены и непрерывны в т. и в некоторой её окрестности,. то в этой точке

Теорема 2.При соответствующих условиях теорема 1 верна для смешанных производных порядка .

Пример 10. .

.

4.1.8 Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Через любую функции можно провести касательную плоскость к ее поверхности, проходящей через .

Ее уравнение будет:

.

Прямая, перпендикулярная касательной плоскости к поверхности в точке касания называется нормальюк этой поверхности.

В любой точке поверхности нормаль существует и проходит в направлении градиента функции в этой точке. Ее параметрические уравнения имеют вид

.

Если функция задана в виде , то уравнения касательной плоскости и нормали примут вид:

и

Пример 11. Напишем уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности эллиптического параболоида в точке .

Решение: Предварительно запишем это уравнение в виде ,

который определяет поверхность уровня 0 функции . Отсюда получим , , . Следовательно , , . Подставляя эти значения в уравнения касательной плоскости, получим

, т.е. .

Параметрические уравнения нормали имеют вид

.

4.1.9Определение экстремума функции

Определение 6.Говорят, что функция имеет максимум (минимум) в точке , если для всех отличных от точек в достаточно малой окрестности точки выполнено неравенство (или соответственно ).

Максимум или минимум функции называется её экстремумом.

Определение 7.Точка ( , в которой дифференцируемая функция может достигать экстремума, называется критической точкой. Она находится путём решения системы уравнений:

-Это необходимые условия экстремума.

Достаточные условия экстремума.

Пусть

и .

Составим дискриминант .

Тогда: 1) если , то функция имеет экстремум в точке , а именно максимум, если (или , и минимум, если А>0 (или С>0); 2) если , то экстремума в точке нет; 3) если , то вопрос о наличии экстремума функции в точке остается открытым (требуется дальнейшее исследование).

Пример 12. Исследовать на экстремум .

Получим две критические точки

1. Рассмотрим т. имеет минимум.

Следовательно, в т. имеет минимум.

2. Рассмотрим т. Тогда - функция в т. экстремума не имеет.

Решение типовых задач

Задача №1.Найти частные производные и частные дифференциалы следующей функции.

Решение:

;

Задача №2. Вычислить значения частных производных , , для данной функции в точке с точностью до двух знаков после запятой.

Решение: ; ; ; ; ;

Ответ: ; ;

Задача №3.Найти полный дифференциал функции .

Решение:

; ;

Ответ:

Задача №4. Вычислить значение производной сложной функции , где , при с точностью до двух знаков после запятой.

Решение:

;

; ; ; ; ; ; ; ;

Ответ:

Задача №5.Найти уравнение касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S: в точке

Решение: Найдем уравнение касательной плоскости в виде

. У нас ; ; . Тогда уравнение касательной плоскости будет иметь вид: или уравнение нормали: принимает вид:

Задача №6.Найти вторые частные производные функции .

Убедиться в том, что

Решение:

Итак,

Задача №7.Исследовать на экстремум функцию

Решение: Используем необходимые условия экстремума функции, чтобы найти стационарные точки

точка стационарная точка функции

Вычислим , ,

; ;

Используя достаточные условия экстремума функции, получаем

экстремум есть, т.к. в точке (1,1) находится максимум функции

Ответ: