РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТИПА 41–60

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ

РАБОТЫ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТИПА 1–20

Задача. Вычислить определитель 1) разложением по первой строке; 2) по правилу треугольника; 3) с использованием элементарных преобразований.

Решение. 1) Воспользуемся формулой

.

В нашем случае

.

2) Правило треугольника имеет вид

.

Применяя это правило для вычисления заданного определителя, получаем

.

3) Получим с помощью тождественных преобразований из исходного определителя новый, который содержит два нулевых элемента, например, в первом столбце. Для этого сначала умножим первую строку заданного определителя на и результат прибавим ко второй строке определителя. Затем умножим первую строку исходного определителя на и результат прибавим к третьей его строке. В результате получим следующий определитель, равный данному: . Теперь находим значение полученного (а значит, и исходного) определителя с помощью его разложения по элементам первого столбца:

= .

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТИПА 21–40

Задача.Пусть , , .Требуется решить уравнения 1) , 2) , 3) .

Решение.1)Вычислим определитель матрицы А:

.

Так как , то обратная матрица существует.

Умножим матричное уравнение на слева и проведем преобразования с учетом свойств матричных операций:

,

.

В результате получаем

.

Находим обратную матрицу по формуле , где – присоединенная матрица. Для этого вычисляем алгебраические дополнения элементов матрицы A: , , , . Таким образом, , т.е.

.

Теперь вычисляем искомую матрицу (решение рассматриваемого матричного уравнения):

.

Выполняем проверку:

.

Проверка дала верное равенство, т.е. уравнение решено правильно.

2) Умножим матричное уравнение на справа и проведем преобразования с учетом свойств матричных операций:

,

.

В результате получаем формулу

.

Так как , то

.

Выполняем проверку:

.

Вывод: уравнение решено верно.

3) Умножаем сначала матричное уравнение на слева, а затем полученный результат – на справа. В результате искомое решение уравнения выражается формулой

.

Ищем :

; ;

.

Теперь имеем

.

Остается осуществить проверку правильности полученного результата (сделайте это сами).

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТИПА 41–60

Задача1. Требуется, используя формулы Крамера, решить систему

Решение.Подсчитаем сначала главный определитель системы , воспользовавшись его разложением по элементам первой строки:

.

У нас

Так как , делаем вывод о том, что система имеет единственное решение. Для его отыскания вычислим вспомогательные определители :

Далее, используя формулами Крамера, окончательно получаем:

Осуществим проверку правильности решения, подставив его в левую часть каждого уравнения заданной системы:

Все три равенства верные, поэтому делаем вывод о правильности полученного решения

Задача 2.Решим систему уравнений из задачи 1 методом Гаусса последовательного исключения неизвестных.

1) Сначала умножим первое уравнение системы на и результат сложим со вторым уравнением системы. Затем первое уравнение системы умножим на (–3) и результат сложим с третьим ее уравнением. В результате указанных тождественных преобразований система примет вид, в котором лишь первое уравнение будет содержать неизвестную величину x:

2) Займемся исключением неизвестной y из третьего уравнения последней системы. Для этого умножим второе ее уравнение на и сложим полученный результат с третьим уравнением. В результате получим новую систему, равносильную заданной:

Теперь из третьего уравнения получаем , затем из второго – и наконец из первого – . Система решена.

Задача 3. Cистему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы.

Решение. Обозначим через матрицу коэффициентов при неизвестных, через – матрицу-столбец неизвестных , а через – матрицу-столбец свободных членов:

, , .

С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму:

. (1)

Если матрица невырожденная, т.е. её определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу . Умножив обе части уравнения (1) слева на , получим

,

т.е.

. (2)

Равенство (2) называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений (1) необходимо вычислить обратную матрицу .

Пусть имеем невырожденную матрицу

.

Тогда обратная матрица определяется по формуле

,

где (i=1, 2, 3; j=1, 2, 3) – алгебраическое дополнение элемента в определителе матрицы , которое является произведением на минор (определитель) второго порядка, полученный вычеркиванием i-й строки j-го столбца в определителе матрицы .

Вычислим определитель и алгебраические дополнения его элементов:

, следовательно, матрица имеет обратную матрицу ;

, ,

, ,

, ,

, ,

.

Отсюда

.

По формуле (2) находим решение данной системы уравнений в матричной форме:

Отсюда имеем , , .

Остается сделать проверку, которую предлагаем сделать читателю самостоятельно.