Различные уравнения прямой в пространстве
Положение прямой в пространстве определяется полностью, если даны:
а) две ее точки;
б) точка и направляющий вектор;
в) две плоскости, пересекающиеся по этой прямой.
Пусть в пространстве выбрана аффинная система координат 
.
1. Каноническое уравнение прямой.
Пусть прямая 
задана в пространстве точкой 
и направляющим вектором 
(рис. 73).
.
Далее применяем условие коллинеарности двух векторов в пространстве в координатах (см. § 5). При этом возможны различные случаи:
а) 
и 
. Тогда получаем следующее уравнение прямой:
. (28)
б) 
.
(29)
в) 
(запишите уравнение прямой самостоятельно).
г) 
(запишите уравнение прямой самостоятельно).
д) 
. Получаем следующее уравнение прямой :
(30)
е) 
(запишите уравнение прямой самостоятельно).
ж) 
(запишите уравнение прямой самостоятельно).
Уравнения (28)-(30) (а также уравнения, записанные вами в пунктах в), г), е) и ж)) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.
2. Уравнение прямой, заданной двумя точками.
Пусть 
. Тогда прямую можно задать точкой 
и направляющим вектором 
. Поэтому применяем каноническое уравнение прямой:
. (31)
Уравнение (31) называется уравнением прямой в пространстве, заданной двумя точками.
Если одна или две координаты вектора 
окажутся нулевыми, то применяем частные случаи канонического уравнения прямой, т.е. уравнения вида (29) или (30).
3. Параметрическое уравнение прямой.
В случае, когда прямая задана так же, как в пункте 1 (точкой и направляющим вектором ), можно получить параметрическое уравнение прямой. 
(по теореме о коллинеарных векторах). Переходя к координатам, получаем:
|
(32)
Система уравнений (32) называется параметрическим уравнением прямой в пространстве.
Действительное число 
в системе (32) называется параметром и имеет такой же смысл, как и параметр 
в параметрическом уравнении прямой на плоскости (см. § 15).
4. Уравнение прямой, заданной двумя пересекающимися плоскостями.
Пусть 
в 
(рис. 74).
Точка 
тогда и только тогда, когда ее координаты 
являются решением системы уравнений плоскостей 
и 
.
Система уравнений
(33)
называется уравнением прямой, заданной двумя пересекающимися плоскостями.
Лемма 1. Вектор
(34)
является направляющим вектором прямой 
.
□ Воспользуемся дважды леммой о параллельности вектора и плоскости.
1) Докажем, что 
.
. Тогда по лемме о параллельности вектора и плоскости .
2) Докажите самостоятельно, что 
.
Из пунктов 1) и 2) следует, что 
, т.е. 
. ■
Итак, из леммы 1 следует, что если прямая задана как линия пересечения двух плоскостей 
, 
, то координаты ее направляющего вектора 
находятся по формуле (34).
Замечание. Как и в случае прямой на плоскости, переменные 
в уравнениях (28)-(33) называются текущими координатами точек прямой в пространстве.