Условные экстремумы числовой функции нескольких переменных

Производная по направлению. Градиент

ВАРИАНТ

Пусть в некоторой области задана функция и точка . Проведем из точки вектор , направляющие косинусы которого . На векторе , на расстоянии от его начала рассмотрим точку , т.е. .

Будем предполагать, что функция и ее частные производные первого порядка непрерывны в области .

Предел отношения при называется производной от функции в точке по направлению вектора и обозначается , т.е. .

Для нахождения производной от функции в заданной точке по направлению вектора используют формулу: ,
где – направляющие косинусы вектора , которые вычисляются по формулам:
.

Пусть в каждой точке некоторой области задана функция .
Вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных этой функции в соответствующей точке, называется градиентом функции и обозначается или (читается «набла у»): .

При этом говорят, что в области определено векторное поле градиентов.

Для нахождения градиента функции в заданной точке используют формулу:
.

Свойства градиента

1. Производная в данной точке по направлению вектора имеет наибольшее значение, если направление вектора совпадает с направлением градиента. Это наибольшее значение производной равно .

2. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору , равна нулю.

Примеры решения задач

Пример 1. Найти производную от функции в точке по направлению вектора .

Решение.

Для решения задачи воспользуемся формулой для нахождения производной от функции в заданной точке по направлению вектора :
,
где – направляющие косинусы вектора , которые вычисляются по формулам:
.

По условию задачи вектор имеет координаты . Тогда его длина равна:
.

Следовательно, для направляющих косинусов вектора получим следующие значения:
.

Далее для решения задачи необходимо найти все частные производные первого порядка от функции :

Вычислим значения этих частных производных первого порядка в точке :

В заключении подставим полученные значения для направляющих косинусов вектора и значения частных производных первого порядка от функции в точке в формулу для нахождения производной по направлению в заданной точке:

Ответ: производная от функции в точке по направлению вектора равна .

Пример 2. Найти градиент функции в точке .

Решение.

Поскольку градиентом функции называется вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных этой функции в соответствующей точке, то для решения задачи сначала найдем все частные производные первого порядка от заданной функции:

Далее вычислим значения этих частных производных первого порядка в точке :

Подставим полученные значения в формулу градиента функции в заданной точке :
.

Ответ: градиент функции в точке равен .

Пример 3. Найти производную функции в точке по направлению градиента функции в той же точке.

Решение.

Для нахождения производной от функции в заданной точке по направлению вектора используют формулу:
,
где – направляющие косинусы вектора , которые вычисляются по формулам:
.

В данном случае вектор совпадает с градиентом функции в точке : .

Следовательно, для решения задачи необходимо найти значения всех частных производных первого порядка от функции в точке , а также координаты и длину градиента функции в той же точке.

Вычислим значения частных производных первого порядка от функции в точке :

Для нахождения координат вектора , равного градиенту функции в заданной точке , вычислим значения частных производных первого порядка от функции в этой точке:

Длина вектора равна: .

Найдем направляющие косинусы вектор по формулам:
.

Подставим полученные значения в формулу для нахождения производной от функции в заданной точке по направлению вектора :

Ответ: производная функции в точке по направлению градиента функции в той же точке равна 1.

ВАРИАНТ

Пусть снова функция задана в области и имеет во всех точках частные производные по всем переменным . Предположим, что все частные производные непрерывны в точке . Тогда функция длифференцируема в точке , то есть приращение функции имеет главную линейную часть, которая равна дифференциалу:

где -- величина большего порядка малости при , чем . Напомним, что

так что получаем

(8.1)

Фиксируем теперь в какое-нибудь направление, выбрав задающий его ненулевой вектор Через точку в направлении вектора проходит некоторая ось . (Напомним, что осью называется прямая с выбранным на ней направлением, то есть выбранным порядком следования точек.) Точки этой оси можно задать параметрическими уравнениями:

или, в векторном виде, , где и увеличению значений параметра соответствует движение точки оси в направлении вектора .

Обозначим ту часть оси , которая состоит из точек оси, следующих после , то есть точек луча , получающегося при .

Определение 8.2 Значение предела

называется производной функции по направлению оси (или луча) (или по направлению вектора ), вычисленной в точке . Производная по направлению обозначается или

Смысл определения производной по направлению -- в том, что она задаёт мгновенную скорость изменения значений функции при прямолинейном и равномерном движении точки вдоль оси в момент .

Заметим, что если направление оси совпадает с направлением одной из координатных осей , то производная функции по такому направлению, очевидно, равняется (правой) производной функции по соответствующей переменной . Если существует (двусторонняя) частная производная по , то получаем, что

если .

Используя параметризацию точки на луче вида и замечая, что условие означает, что , получаем:

Запишем теперь приращение функции, стоящее в числителе, через частные производные с помощью формулы (8.1):

Отсюда

Здесь в правой части первые слагаемых не зависят от . Поскольку при , то последний предел равен 0, так как -- величина большего порядка малости, чем . Итак, получили формулу

С помощью этой формулы можно вычислять производную по любому направлению, если известен направляющий вектор этого направления .

Заметим, что в правой части полученной формулы первый множитель каждого слагаемого -- это компонента вектора , а второй множитель -- компонента вектора . Этот вектор лишь длиной отличается от вектора ; направление его, очевидно, то же, что у . Длина вектора равна 1:

Поэтому компоненты вектора -- это направляющие косинусы -- косинусы углов между осью и осями координат :

где -- единичный направляющий вектор оси , , а точкой обозначено скалярное произведение векторов и . Таким образом, имеет место следующая теорема, выражающая связь между производной по направлению, градиентом и единичным направляющим вектором оси:

Теорема 8.1 Если все частные производные функции непрерывны в точке и направление оси задано вектором , то

где -- единичный направляющий вектор оси , или

где -- углы между осью и осями .

1. Глобальные экстремумы числовой функции нескольких переменных.

Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума
Определение 7. Точка называется точкой минимума (максимума) функции , если существует такая окрестность точки , что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство , ( ).

Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции (минимумом и максимумом соответственно).

Заметим, что минимум и максимум функции имеют локальный характер, так как значение функции в точке сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к .

Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если – точка экстремума дифференцируемой функции , то ее частные производные и в этой точке равны нулю: .

Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю, называются критическими или стационарными. В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь.

Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть функция : а) определена в некоторой окрестности критической точки , в которой и ; б) имеет непрерывные частные производные второго порядка . Тогда, если , то функция в точке имеет экстремум: максимум, если А<0; минимум, если А>0; если , то функция в точке экстремума не имеет. В случае вопрос о наличии экстремума остается открытым.

При исследовании функции двух переменных на экстремум рекомендуется использовать следующую схему:

1. Найти частные производные первого порядка: и .

2. Решить систему уравнений и найти критические точки функции.

3. Найти частные производные второго порядка: , , .

4. Вычислить значения частных производных второго порядка в каждой критической точке и, используя достаточные условия, сделать вывод о наличии экстремума.

5. Найти экстремумы функции.

Пример 6. Найти экстремумы функции .

Решение. 1. Находим частные производные и :

, .
2. Для определения критических точек решаем систему уравнений
или
Из первого уравнения системы находим: . Подставляя найденное значение y во второе уравнение, получим
, , ,
откуда
.
Находим значения y, соответствующие значениям . Подставляя значения в уравнение , получим: .

Таким образом, имеем две критические точки: и .

3. Находим частные производные второго порядка:

; ; .

4. Вычисляем значения частных производных второго порядка в каждой критической точке. Для точки имеем:
, , .
Так как
,
то в точке экстремума нет.

В точке :
, ,
и, следовательно,
.
Значит, в силу достаточного условия экстремума, в точке функция имеет минимум, так как в этой точке и .

5. Находим значение функции в точке :
.

Условные экстремумы числовой функции нескольких переменных.

В теории функций нескольких переменных иногда возникают задачи, когда экстремум функции нескольких переменных необходимо найти не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющем некоторому условию.

Пусть – функция двух переменных, аргументы x и y которой удовлетворяют условию , называемому уравнением связи.
Определение 8. Точка называется точкой условного минимума (максимума) функции , если существует такая окрестность точки , что для всех точек из этой окрестности, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство , ( ).

Если уравнение связи можно разрешить относительно одной из переменных (например, выразить y через x: ), то задача отыскания условного экстремума функции двух переменных сводится к нахождению экстремума функции одной переменной. Для этого подставляют найденное значение в функцию двух переменных. В результате получают функцию одной переменной x: . Ее экстремум и будет условным экстремумом функции .

Замечание. В более сложных случаях, когда уравнение связи не разрешимо относительно одной из переменных, для отыскания условного экстремума используется метод множителей Лагранжа.

Пример 7. Найти экстремумы функции при условии, что ее аргументы удовлетворяют уравнению связи .
Решение. Из уравнения связи находим функцию и подставляем ее в функцию z. Получим функцию одной переменной

или
Находим экстремум данной функции:
, ,
– критическая точка первого рода (точка, подозрительная на экстремум). Так как , то в точке функция имеет локальный минимум. Из уравнения связи находим: . Следовательно, функция

в точке имеет условный минимум: