Основные правила дифференцирования функций

Дифференциальное исчисление функции

Одной переменной.

Производная функции, ее геометрический и физический смысл.

Определение. Производной функции f(x) в точке х = х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

. (5.1)

у

f(x)

f(x₀ +Dx) P

Df

f(x₀) M

a b Dx

0 x₀ x₀ + Dx x

Рис. 5.1.

Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

,

где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x₀, f(x₀)).

Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

Уравнение касательной к кривой: (5.2)

Уравнение нормали к кривой: . (5.3)

Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

Физический смысл производной функции f(t), где t - время, а f(t)- закон движения – мгновенная скорость движения.

Соответственно, вторая производная функции - скорость изменения скорости, т.е. ускорение.

Функция у= f(x), имеющая производную в каждой точке интервала (а, b), называется дифференцируемой в этом интервале. Соответственно операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Рассмотрим основные свойства дифференцируемых функций.

1. Теорема 1 (необходимое условие существования производной) Если функция f(x) имеет производную в точке х₀, то она непрерывна в этой точке.

2. Теорема 2. Если функция у = f(x) на интервале (а, b) монотонна и имеет в произвольной точке х этого интервала производную не равную нулю, то обратная ей функция х = φ (у) также имеет производную в соответствующей точке и равна . (5.4)

Следовательно, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Основные правила дифференцирования функций

На практике нахождение производной функции часто связано с определёнными трудностями, поэтому удобно пользоваться в дальнейшем следующими правилами дифференцирования.

Пусть функции u = u (x) и v = v(x) – дифференцируемы в точке х . а C – постоянная величина (C = const). Имеют место следующие правила:

1) ;

2) ;

3) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢ ;

4) (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v ;

5) , если v ¹ 0 .

Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.

Ниже приводится таблица производных элементарных функций:

1) С¢ = 0	9)
2) ( xm )¢ = m xm-1	10)
3)	11)
4)	12)
5)	13)
6)	14)
7)	15)
8)	16)

Производная сложной функции.

Теорема.Пусть функции y = f(u) и u = g(x) дифференцируемы в соответствующей точке, причем область значений функции g(x) входит в область определения функции f.

Тогда . (5.5)

Доказательство. ,

( с учетом того, что если Dx®0, то Du®0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция)

Тогда Теорема доказана.

Примеры. Найти производную

1)

2)

Логарифмическое дифференцирование.

На практике в ряде случаев для нахождения производной функции удобно вначале прологарифмировать эту функция, а затем результат продифференцировать. Такая двойная процедура называется логарифмическим дифференцированием. Метод логарифмического дифференцирования удобно применять для нахождения производных сложных, особенно показательных функций, для которых непосредственное вычисление производной с использованием правил дифференцирования представляется трудоемким.

Рассмотрим функцию .

Тогда (lnïxï)¢= , т.к. . Учитывая полученный результат, можно записать . Здесь отношение называется логарифмической производной функции f(x).

В результате . (5.6)

Примеры. 1) Производная степенно-показательной функции

. (5.7)

2) ,

3) ,

.