Разложение вектора по координатным осям

Глава 2. Элементы векторной алгебры

Векторы

Определение 1. Вектор – это отрезок, имеющий определенную длину и направление. Если А – начало вектора, В – его конец, то вектор обозначается символом или .

Вектор называется противоположным вектору . Вектор, противоположный вектору , обозначается - .

Определение 2. Длинойили модулем вектора называется длина отрезка АВ и обозначается или . Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается . Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через .

Определение 3. Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Определение 4. Два вектора и называются равными ( = ), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Определение 5. Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Линейные операции над векторами.

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.

Пусть и - два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор . От точки А отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов и : (рис. 1).

В

О А

Рис. 1.

Это правило сложения векторов называют правилом треугольника.

Сумму двух векторов можно построить также по правилу параллелограмма (рис. 2).

А С

О В

Рис. 2.

Под разностью векторов и понимается вектор , такой, что (рис.3).

А

О В

Рис.3.

Произведением вектора на число к называется вектор , который имеет длину , коллинеарен вектору , имеет направление вектора , если к > 0 и противоположное направление, если к < 0.

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

1. = , 4. ,

1. ( ) + = + ), 5. .

2. ,

Разложение вектора по координатным осям

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Оxyz. Выделим на координатных осях Ox, Oy, Oz единичные векторы соответственно (рис. 4).

Выберем произвольный вектор пространства и совместим его начало с началом координат: .

Найдем проекции вектора на координатные оси.

Проведем через конец вектора плоскости, параллельные координатным плоскостям.

Рис. 4 Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно через М₁, М₂, М₃. Получим прямоугольный параллелепипед. Ясно, что . Проекцией вектора на ось Ox является отрезок , на Oy - , на Oz - .

Тогда вектор может быть представлен в виде . Такое представление называется разложением вектора по осям координат, или разложением по ортам.

Числа называются координатами вектора . Пишут = ( ).

Зная координаты вектора , легко найти его модуль: .

Если вектор составляет с осями координат углы , то можно найти, что .

Отсюда

.

Числа называются направляющими косинусами вектора . Они связаны соотношением

.

Пусть даны два вектора = ( ), = ( ), тогда:

1. ;

2. = ( );

3. =

4. Вектор коллинеарен вектору тогда и только тогда, когда выполняется условие , т.е. координаты коллинеарных векторов пропорциональны. Верно и обратное: векторы, имеющие пропорциональные координаты, коллинеарны.

5. Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат Оxyz. Вектор , начало которого находится в начале координат, а конец в точке М(x,y,z) называется радиусом-вектором точки М и обозначается , причем .

Рис. 5. Тогда если известны координаты точек , то (рис. 5).

Следовательно, координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала.

Пример 1. Даны координаты вершин ΔАВС: А(1;2;3), В(3;2;1), С(1;4;1). Показать, что ΔАВС – равносторонний.

Решение: Найдем координаты векторов , , . Получим

= (3-1, 2-2, 1-3) = (2, 0, -2), = (-2, 2, 0), = (0, 2, -2). Вычислим длины данных векторов. Имеем = , = , = . Так как = = , то ΔАВС – равносторонний.