Бесконечно большая функция

если , то функция f называется бесконечно большой при x → x₀.

Ограниченная функция

Функция, ограниченная и сверху, и снизу, называется ограниченной на множестве D. Геометрически ограниченность функции f на множестве D означает, что график функции y = f (x), лежит в полосе c ≤ y ≤ C.

loadGraphImg ("../../../../content/grapher/screensh/01030503.jpg", 350, 350, '', 'content/grapher/01030503.set', 'graph01030503', '', '', '');

Свойства бесконечно малых функций

1.
2.
3.
4.

Произведение

Произведение бесконечно малой функции при и функции , ограниченной в некоторой -окрестности точки a, есть функция бесконечно малая.

Доказательство. Функция является ограниченной в некоторой окрестности точки a и, следовательно, существует такое число B > 0, что

(4)

для всех x, удовлетворяющих условию

(5)

Поскольку функция является бесконечно малой при , то для любого произвольно малого числа ε > 0 существует такое число , что неравенство

(6)

выполняется для всех x, удовлетворяющих условию

(7)

Выберем из чисел и наименьшее и обозначим его символом δ. Тогда условие

(8)

является более сильным, чем условия (5) и (7) и поэтому влечет неравенства (4) и (6).

Таким образом, для любого произвольно малого числа ε > 0 выполняется неравенство

для всех x из δ-окрестности точки a.

Сумма

Сумма двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

Доказательство. Пусть ε > 0 – произвольно малое число; и – бесконечно малые функции при . Тогда существуют такие положительные числа и , что условия

(9)

и

(10)

влекут за собой соответствующие неравенства

и

Если , то условие перекрывает оба условия (9) и (10) и, следовательно,

Следствие. Сумма любого конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

Теорема о двух милиционерах

Если функция y = f(x) такая, что для всех x в некоторой окрестности точки a, причем функции φ(x) и ψ(x) имеют одинаковый предел при , то существует предел функции y = f(x) при , равный этому же значению, то есть

32. Вторая теорема Вейерштрасса

Непрерывная на отрезке [a, b] функция ограничена и достигает на этом отрезке своей верхней и своей нижней грани
Доказательство. Пусть f (x) C_{[a, b]} (функция принадлежит классу непрерывных функций на отрезке [a, b]) и пусть .
Согласно определению верхней грани функции, для каждого n существует такая точка х_n [а, b], что

,

Из последовательности x_n [а, b] можно выделить сходящуюся к некоторому значению х₀ подпоследовательность:

.

В силу непрерывности функции имеем далее

.

В то же время

.

И в пределе f (x₀) M. Но f (x₀) не может быть больше верхней границы М и, следовательно, f (x₀) = М. Что и требовалось доказать

Свойства пределов функции

1) Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

2) Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.

Расширенное свойство предела суммы:

Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.

3) Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

4) Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций: