Размещения данного состава

Факультет естественных наук

Р.Т. ГАЛУСАРЬЯН

Сборник задач и упражнений

по курсу «Высшая математика»

(1-й семестр, часть II)

Обнинск 2008

УДК 51(076)

Галусарьян Р.Т. Сборник задач и упражнений по курсу «Высшая математика», ч. II. Обнинск: ИАТЭ, 2008. 76с.

Во второй части сборника включены вопросы, связанные с элементами комбинаторики, математической индукции и комплексными числами. В сборнике приведены индивидуальные домашние задания (ИДЗ) по темам: 1)Предел функции и непрерывность; 2)Производная. К задачам ИДЗ: Предел функции и непрерывность приведены ответы

Рецензенты: д.ф.-м.н. Е.А.Сатаев ,

к. ф.-м. н. А.Г.Слесарев

Темплан 2008, поз 17

© Р.Т.Галусарьян, 2008г.

© Обнинский государственный технический университет атомной энергетики, 2008 г.

Содержание

Предисловие.............................................................................. 4

Глава 3. Введение в анализ

§3.1. Комбинаторика и бином Ньютона ……………………… 5

§3.2. Комплексные числа …………………………………… 13

Глава 4. Индивидуальные домашние задания

§ 4.1. ИДЗ «Предел функции и непрерывность» ………….. 20

§ 4.2. ИДЗ «Производные» ………………………………… 40

Глава 5. Семинары

§5.1. Применение производной при исследовании функции.. 61

§ 5.2. Неопределенный интеграл …………………………… 65

Ответы...................................................................................... 69

Литература................................................................................. 76

Предисловие

Вторая часть сборника задач по курсу «Высшая математика» содержит введение в математический анализ (Глава 3) и индивидуальные домашние задания по теме: «Предел функции и непрерывность» и по теме: «Производная»

Глава 3 содержит следующие темы: комбинаторика, бином Ньютона, математическая индукция и комплексные числа Приведены основные формулы и методы решения задач.

Глава 4 содержит индивидуальные домашние задания по основным темам курса математического анализа, изучаемым в первом семестре

Глава 5 посвящена семинарским занятиям. Приводится перечень основных вопросов, рассматриваемых на семинаре, задачи, которые необходимо решать на семинаре и задачи для самостоятельной работы.

К задачам главы 3 и к задачам ИДЗ «Предел функции» приведены ответы. Для наиболее сложных задач приводятся решения.

Глава 3. Введение в анализ

Комбинаторика и бином Ньютона

Комбинаторика

1. Число перестановок из n элементов равно произведению nпоследовательных натуральных чисел от 1 до n.

Число перестановок обозначается так:

или n! (эн-факториал) и вычисляется по формуле:

n!= . (1.1)

Число размещений (без повторений) из n элементов по к

равно произведению кпоследовательных натуральных чисел, наибольшее из которых равно n:

, (1.2)

или . (1.3)

3. Число сочетаний из n элементов по к ( ) определяется по формуле:

(1.4)

или (1.5)

Из формулы (1.5) следует . (1.6)

Размещения с повторениями

Пусть из множества Х, состоящего из n элементов, надо составить строку из кэлементов, причем каждый элемент в

строке может быть любым элементом из х, т.е. в строке

элементы могут повторяться.

Общее число всех таких строк есть число размещений

из n по kс повторениями: А( n, k ) = n^k . (1.7)

В рассмотренном случае каждый элемент строки может принимать nзначений. Если в строке элемент может принимать значений, элемент может принимать значений, то количество всех таких строк определяют по формуле:

. (1.8)

Размещения данного состава

Размещением данного состава из элементов

множества называется всякая строка длиной , составленная из элементов множества X так, что элемент повторяется раз, элемент повторяется раз , ..., элемент повторяется раз .

Например, если то есть

один из вариантов состава

Число различных размещений состава определяется по формуле:

. (1.9)

Бином Ньютона

Формула бинома Ньютона позволяет любой двучлен (бином) возвести в натуральную степень. Эта формула имеет вид:

(1.10)

или сокращенно

В разложении бинома n + 1 членов. Так как , то

коэффициенты членов разложения, одинаково удаленных от начала и конца, равны между собой. При получаем формулу для суммы биномиальных коэффициентов:

(1.11)

Обобщением формулы бинома Ньютона является

полиномиальная формула:

(1.12)

где и суммирование ведется по всем наборам .

В частности:

Итак,

. (1.13)

3. Формула разложения разностиn-ых степеней

(1.14)