Нормальная модель магнитотеллурического поля

Исследование распространения плоской электромагнитной волны в однородном нижнем полупространстве является основополагающей задачей магнитотеллурики. Такая модель магнитотеллурического поля называется нормальной. Рассмотрим эту задачу в рамках квазистационарного приближения.

Пусть в среде с волновым числом k распространяется гармоническое поле, направленное вертикально вниз вдоль оси z (рис.6.1). Фронт волны в этом случае совпадает с горизонтальной плоскостью ху и, следовательно, можно записать:

При z=const . (6.1)

Из (6.1) непосредственно следует:

. (6.2)

Далее запишем условие на бесконечности:

При . (6.3)

Ввиду (6.2) уравнения Гельмгольца (5.1) приобретают вид

. (6.4)

. (6.5)

Полученная система уравнений (6.4), (6.5) носит название одномерных дифференциальных уравнений Гельмгольца. Их решение записывается в виде системы комплексных уравнений, описывающих электрические и магнитные компоненты поля суммой экспонент:

, (6.6)

. (6.7)

Здесь коэффициенты представляют комплексные векторы, которые необходимо определить. Пользуясь условием на бесконечности (6.3) рассмотрим, насколько ему удовлетворяют члены уравнений (6.6) и (6.7).

Учитывая, что , можно переписать экспоненты в выражениях (6.6) и (6.7) в следующем виде:

, (6.8); , (6.9).

Поскольку в выражении (6.8) при , а является во всех случаях функцией ограниченной,)тогда как в выражении (6.9) при ,то можно заключить, что условию затухания поля на бесконечности удовлетворяет лишь экспонента с положительной степенью . Отсюда можно положить равными нулю коэффициенты в уравнениях (6.6) и (6.7) и переписать их в виде:

, (6.10)

. (6.11)

Полученное решение описывает поле в однородном полупространстве. Положив равными нулю коэффициенты в уравнениях (6.6) и (6.7), мы тем самым приняли, что поле распространяется только сверху вниз и что в нижнем полупространстве отсутствуют какие-либо неоднородности (слои), которые могли бы привести к появлению отраженных волн, распространяющихся снизу вверх. Полное решение уравнений (6.6) и (6.7) будет рассмотрено ниже, в разделе 7 при рассмотрении магнитотеллурического поля над горизонтально-слоистым полупространством.

Применим к магнитному вектору в выражении (6.10) процедуру скаляризации, возьмем дивергенцию и, учитывая 3-е уравнение Максвелла, запишем результат в частных производных

(6.12)

Поскольку горизонтальные производные поля тождественно равны нулю, согласно (6.2), то из (6.12) следует:

. (6.13)

Аналогичный результат может быть получен для электрического поля

. (6.14)

Пользуясь правилом дифференцирования экспоненциальных функций, находим:

, (6.15)

Поскольку волновое число , то можно записать тождество:

. (6.16).

Это означает, что в плоско поляризованной вертикально падающей волне существуют только горизонтальные компоненты поля Е_х, Е_у и Н_х, Н_у.

Отсюда первые два уравнения Максвелла могут быть записаны в следующем виде:

(6.17)

(6.18)

Заметим, что символ частного дифференцирования заменен в выражениях (6.17), (6.18) символом полного дифференциала , поскольку в плоской волне амплитуда поля зависит только от z.

Раскрывая определитель в операции ротора, получаем:

, (6.19)

. (6.20)

После сокращения одноименных ортов в первом уравнении Максвелла (6.19) получим выражения для электрических компонент поля в явном виде:

, , (6.21)

Аналогично, после сокращения коэффициентов при одноименных ортах во втором уравнении Максвелла (6.20) получим выражения для магнитных компонент поля в явном виде:

, . (6.22)

Подставляя в (6.21), (6.22) решения уравнений Гельмгольца для и поля из (6.10) и (6.11) и учитывая экспоненциальный характер их зависимости от глубины Z, получим:

(6.23)

, . (6.24)

После сокращения в (6.23) экспоненты , которая одинаково входит в электрическую и магнитную компоненты поля, получим для первого уравнения Максвелла

(6.25)

Аналогичную пару уравнений можно получить для второго уравнения Максвелла

(6.26)

Как уже отмечалось выше, в теории распространения плоских электромагнитных волн важное значение имеет понятие импеданса (impedance - сопротивление). Импеданс равен отношению взаимно ортогональных компонент электрического и магнитного полей в частотной области. Понятие импеданса составляет основу теории магнитотеллурических методов. При этом считается, согласно первому постулату модели Тихонова-Каньяра, что возбуждение теллурических (земных) токов происходит индукционным путем, за счет переменного магнитного поля. Поэтому при определении импеданса используют второе уравнение Максвелла и, соответственно, пару уравнений (6.26). Отсюда, можно выписать два типа импеданса:

, (6.27) ; (6.28)

На поверхности однородного (и любого горизонтально-слоистого, одномерного) полупространства импеданс не зависит от направления и можно записать тождество

В комплексном виде импеданс представляется выражением

,

поскольку , то отсюда следует

(6.29)

Следовательно, можно записать для модуля импеданса.

(6.30)

Отсюда следует выражение для величины удельного электрического сопротивление однородного полупространства, впервые выведенное Луи Каньяром:

, (6.31)

Замечательным свойством импеданса плоской электромагнитной волны, вытекающим из граничных условий Леонтовича, является то, что он не зависит от условий возбуждения и поэтому выражение (6.31) отражает только свойства нижележащего геоэлектрического разреза.

В заключение раздела исследуем амплитудно-фазовые характеристики компонент Е_х,Е_у и Н_х,Н_у плоского гармонического электромагнитного поля вида и распространяющегося в однородном полупространстве в направлении сверху вниз (по оси z). Решение уравнений Гельмгольца (6.10) и (6.11) перепишем в скалярном виде, приравняв нулю вертикальные составляющие поля

(6.32)

Далее необходимо учесть, что коэффициенты и являются комплексными величинами и характеризуются своими фазовыми сдвигами. Отсюда можно записать

и , где

, , ,

Принимая для всех компонент экспоненциальную зависимость вида , можно записать электрические и магнитные компоненты поля в следующем виде:

, (6.33)

В уравнениях (6.33) направляющие орты не указываются, но подразумевается, что каждая из компонент поля относится к определенному координатному направлению или .

Дальнейшее рассмотрение проведем на примере компоненты Н_х. Учитывая, что , компонента Н_х из уравнения (6.33) может быть записана в следующем виде:

Далее выражение для компоненты Н_х может быть переписано в тригонометрической форме

Поскольку реально измеряемой в эксперименте величиной является косинусная часть комплексного числа, то выпишем ее отдельно.

(6.34) В полученном уравнении (6.34) амплитуда измеряемого поля на глубине z и полная величина фазы определяются выражениями:

. (6.35)

. (6.36)

Учитывая, что длина волны , выражения (6.35) и (6.36) могут быть переписаны в следующем виде:

. (6.37)

. (6.38)

Сопоставляя уравнения (6.37) и (6.38), можно видеть, что реально измеряемая амплитуда поля является функцией глубины, частоты и сопротивления, тогда как фаза является еще и функцией времени. Однако, на практике фаза отдельно взятых компонент поля не измеряется, за исключением некоторых модификаций электроразведки с контролируемыми источниками. Обычно измеряется разность фаз между сопряженными, то есть связанными между собой через уравнения Максвелла компонентами поля. Например, для импеданса фазовые соотношения компонент определяются выражением:

(6.39)

Возвращаясь к анализу уравнений (6.34) – (6.38), можно видеть, что амплитуда плоской электромагнитной волны экспоненциально затухает с глубиной, меняясь при этом по гармоническому закону с пространственным периодом, равным длине волны λ. Чем короче λ, тем быстрее затухает амплитуда поля в с глубиной в (6.35). Следовательно, можно говорить о волновом характере поля и о плоской электромагнитной волне. Но при этом необходимо помнить, что распространение поля в среде происходит по закону диффузии. Это означает, что наблюдаемое поле существует только до тех пор, пока существует источник.Отключение источника приводит к быстрому исчезновению электромагнитного поля. Время исчезновения определяется постоянной релаксации . В этом заключается главное отличие условий квазистационарного приближения (уравнений теплопроводности) от условий распространения поля, подчиняющихся волновым уравнениям. В последнем случае, например, электромагнитная волна, возникнув, может существовать сколь угодно долго после отключения источника, поскольку в вакууме, при не происходит расхода энергии электромагнитной волны на разогрев пространства. Например, мы можем наблюдать на небосводе свет звезды, погаснувшей миллиарды лет назад.

Описанные выше свойства плоского электромагнитного поля позволяют дать несколько определений.

6.1. Фазовый фронт.

Уравнение фазового фронта получим, приравняв константе выражение фазы (6.36)

,

Отсюда нетрудно получить

(6.40)

Из анализа уравнения (6.40) можно видеть, что в каждый фиксированный момент времени фазовый фронт – это горизонтальная плоскость. Поэтому волну называют плоской. С увеличением времени глубина z растет. Однако точное значение глубины z по фазовой кривой установить нельзя. По фазовой кривой магнитотеллурического зондирования можно лишь сугубо качественно установить характер геоэлектрического разреза – количество слоев, тип разреза и т.д.

Фазовая скорость.

Фазовой скоростью распространения электромагнитной волны называется скорость распространения ее фазового фронта. Чтобы найти ее, продифференцируем по времени выражение (6.40).

(6.41)

Из полученного выражения (6.41) можно видеть, что скорость распространения фазового фронта тем больше, чем больше сопротивление пород и чем короче период колебания Т (чем выше частота). Формально скорость плоской волны может расти неограниченно и даже превысить скорость света, если следовать уравнению (6.41). Отмеченное противоречие возникает из-за того, что мы ограничились квазистационарным приближением и пренебрегли токами смещения.