Преобразование Лапласа. Передаточная функция

При исследовании и проектировании систем управления используют математический метод, получивший название преобразование Лапласа. Этот метод позволяет функцию одного переменного (обычно t) преобразовать в функцию другого переменного посредством соотношения:

где - исходная функция вещественной переменной подлежащей преобразованию по Лапласу. Эта функция называется оригиналом;

- комплексная переменная преобразования. Её называют множитель Лапласа;

- функция комплексного переменного = a +jb. Эта функция называется изображением.

Преобразование Лапласа позволяет выполнить алгебраизацию дифф. уравнений, т.е. операции дифференцирования и интегрирования заменить на алгебраические умножение и деление. После такого преобразования значительно облегчаются процессы анализа и синтеза САУ.

Для простейших временных функций изображения по Лапласу приведены в таблице

Таблица – изображения по Лапласу временных функций.

Примеры

1. 2.

3.

(*)

Для физической реализации

Динамические свойства систем можно оценивать по передаточным функциям, которые получают из операционных уравнений, общий вид которых представлен уравнением (*)

Передаточная функция элемента или системы представляет собой отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению по Лапласу входной величины при нулевых начальных условиях.

– передаточная функция

н.у. = 0

Примеры:

1. делим обе части уравнения на u(p)

2.

3. – передаточная функция в общем виде