Законы Ома в интегральной и дифференциальной формах

Однородный (пассивный) участок электрической цепи.Участокэлектрической цепи, не содержащий источников электроэнергии, называ-ется однородным (рис. 5.2.1). Для такого участка (проводника) закон Ома, который установлен экспериментально, гласит: сила тока I в проводнике прямо пропорциональна напряжению U на его концах и обратно пропор-циональна электрическому сопротивлению R проводника (участка):

  I U . (5.2.1)  
    R    
R   I  
     
1       2  
       
U =1–2  
     

Законы Ома в интегральной и дифференциальной формах - student2.ru

Рис. 5.2.1

Единица сопротивления – ом (1 Ом = 1 В/А).

Выражение (5.2.1) является законом Ома для однородного участ-ка цепи в интегральной форме.

Величина g, обратная сопротивлению, называется электрической проводимостью (или электропроводностью)проводника:

g . (5.2.2)  
   
  R    

Единица электропроводности – сименс (1 Cм = 1 А/В = 1/Ом). Сопротивление и электропроводность проводника являются его характеристиками, которые зависят от природы вещества проводника, его геометрии и состояния. Для однородного линейного проводника сопротивление прямо пропорционально его длине l и обратно пропор-

ционально площади поперечного сечения S проводника:

R l , (5.2.3)  
S  
       


где – удельное сопротивление вещества.

Единица удельного сопротивления – ом-метр (1 Ом · м).

Величина 1 называется удельной электрической проводимо-

стью (или удельной электропроводностью)материала проводника.

Единица удельной электропроводности сименс на метр (1 См/м = = 1 Ом–1 · м–1).

Опытным путем установлено, что для большинства металлов с повышением температуры удельное сопротивление (а значит, и со-противление) увеличивается. Такое изменение удельного сопротивле-ния (сопротивления) описывается линейным законом, если интервал изменения температуры достаточно мал:

= 0(1 + t), или R = R0(1 + t), (5.2.4)

где и 0, R и R0 – соответственно удельные сопротивления и сопро-тивления проводника при температурах t°С и 0°С; – температурный коэффициент сопротивления.

Для всех химически чистых металлов коэффициент близок к 1/273.

Зависимость сопротивления металлов от температуры исполь-зуют в различных измерительных и автоматических устройствах (например, термисторы, термометры сопротивления), а зависи-мость удельного сопротивления металлов от механических воздей-ствий, которая для чистых металлов и сплавов возрастает при рас-тяжении, используется для измерения деформаций и механических напряжений.

2 I

Законы Ома в интегральной и дифференциальной формах - student2.ru

E

1 Законы Ома в интегральной и дифференциальной формах - student2.ru Законы Ома в интегральной и дифференциальной формах - student2.ru Законы Ома в интегральной и дифференциальной формах - student2.ru E

S l  
   

Рис. 5.2.2



Расчет силы тока в проводящей среде в общем случае осуществля-ется на основе закона Ома в дифференциальной форме. Для его вывода рассмотрим небольшой отрезок трубки тока (рис. 5.2.2) в однородной и изотропной проводящей среде. На рисунке l – расстояние между точками 1 и 2, потенциалы которых соответственно равны 1 и 2 , а S –средняя величина площади сечения трубки тока.

По закону Ома I   U         2 , где R l    
        1     .  
           
          R12       R12     S    
                         
Далее учтем, что I = jS и 1 .            
                                 
Тогда                                
                             
      jS   l S   j l .    
Но lim       d   E,где Е –напряженность электрического  
      dl  
l 0   l                          

поля в некоторой точке внутри проводника. Таким образом, имеем:

j = E,или       (5.2.5)  
j E 1 E.  
           

Плотность электрического тока в любой точке проводящей среды вычисляется как произведение удельной электропроводности среды на напряженность электрического поля в этой точке.

Выражение (5.2.5) является законом Ома для однородного участ-ка цепи в дифференциальной форме.

Сравнив формулу (5.2.5) с уравнением (5.1.7), можем сказать, что средняя скорость упорядоченного движения ( скорость дрейфа) носи-телей заряда пропорциональна напряженности поля, т. е.

  aE. (5.2.6)  
u  

Законы Ома в интегральной и дифференциальной формах - student2.ru Законы Ома в интегральной и дифференциальной формах - student2.ru

где a – подвижность носителей заряда. Подставив выражение (5.2.6)

в уравнение (5.1.7), получим:    
  (5.2.7)  
j enaE E.  

Таким образом, удельная электропроводимость среды определя-ется концентрацией носителей заряда и их подвижностью, т. е. = ena.

Неоднородный (активный) участок электрической цепи.Если впроводнике создать электрическое поле и не принять мер для его под-держания, то перемещение носителей тока приведет к тому, что потен-



циалы всех точек цепи выравняются, и поле внутри проводника исчез-нет, а ток прекратится. Для того чтобы поддерживать ток достаточно длительное время, нужно от конца проводника с меньшим потенциалом непрерывно отводить приносимые сюда заряды, а к концу с большим потенциалом непрерывно их подводить (разделение разноименных за-рядов), т. е. необходимо наличие в цепи устройства, способного созда-вать и поддерживать разность потенциалов. Устройство, способное соз-давать и поддерживать разность потенциалов, называют источником электрической энергии (или генератором).В источниках электроэнер-

гии на носители зарядов действуют силы неэлектростатического проис-хождения, которые называются сторонними силами. Они могут быть обусловлены химическими процессами, вихревыми электрическими по-лями, диффузией носителей заряда в неоднородной среде и т. д.

Количественной характеристикой сторонних сил является напря-женность Eст, которая определяется сторонней силой, действующей на

единичный положительный заряд. Сторонние силы можно охарактери-зовать работой, которую они совершают над перемещающимися по цепи зарядами. Физическая величина, равная работе сторонних сил по пере-мещению единичного положительного заряда в цепи или на ее участке, называется электродвижущей силой (ЭДС) источника электроэнергии:

  Aст . (5.2.8)  
   
  q    

Эта работа совершается за счет энергии, затрачиваемой в источ-нике тока.

Работа сторонних сил по перемещению заряда q0 на участке цепи равна:

       
Aст Fст dl qпр Eстdl. (5.2.9)
       

Отсюда ЭДС, действующая в замкнутой цепи, – это циркуляция вектора напряженности поля сторонних сил:

Eстdl. (5.2.10)

Для поля сторонних сил циркуляция его напряженности по замкнутому контуру не равна нулю. Поэтому поле сторонних сил не-потенциально.

Участок электрической цепи называется неоднородным, если он со-держит источник (или источники) электрической энергии (рис. 5.2.3).



  R I   r,  
         
1               2  
           
U = (1–2) +        
             

Законы Ома в интегральной и дифференциальной формах - student2.ru

Рис. 5.2.3

Рассмотрим участок цепи, полное сопротивление которого R12 и 1 > 2. Для любой точки данного участка напряженность результи-

рующего поля E Eэл Eст. Поэтому закон Ома для неоднородного участка цепи в дифференциальной форме запишется в виде:

   
jEэл Eст. (5.2.11)

В случае если на заряд кроме сторонних сил действуют силы электростатического поля, то результирующая сила, действующая в каждой точке цепи на заряд, равна:

         
F Fэл Fст qпр Eэл Eст. (5.2.12)

Тогда работа, совершаемая этой силой на участке цепи 1→2, оп-ределяется выражением

A           q       . (5.2.13)  
q E эл dl q E dl  
пр     пр ст   пр      
                         

Величина, численно равная работе, совершаемой электрическими и сторонними силами при перемещении единичного положительного заряда, называется падением напряжения, или просто напряжением на данном участке цепи:

U   A12   . (5.2.14)  
   
    qпр  
               
Так как U12 = IR12 , то                
  IR12=12+12. (5.2.15)  

С учетом выражения (5.2.15) закон Ома для неоднородного уча-стка цепи в интегральной форме принимает вид:

I   2       2     (5.2.16)  
1   12   1   ,  
  R12   R r  
             
                       


где R – сопротивление внешнего участка цепи; r – внутреннее сопро-тивление источника тока.

При использовании (5.2.16) для расчета характеристик участка электрической цепи пользуются правилами знаков для силы тока и ЭДС: если направление тока (выбранное произвольно ) совпадает с на-правлением движения по участку от точки 1 до точки 2 , то сила тока I берется со знаком «плюс», в противоположном случае сила тока I бе-рется со знаком «минус»; если внутри источника ток идет от катода к аноду, т. е. напряженность поля сторонних сил в источнике совпадает по направлению с током на участке цепи, то ЭДС этого источника считается положительной, в противоположном случае ЭДС этого ис-точника считается отрицательной.

  I1 1, r1 R1  
           
                   
                 
1           2  
           
               

Законы Ома в интегральной и дифференциальной формах - student2.ru

I2

R2 2, r2

Рис. 5.2.4

Для электрической цепи, состоящей из двух участков и изобра-женной на рис. 5.2.4, согласно выбранному направлению движения по каждому участку от точки 1 до точки 2 и правилам знаков уравнения, записанные с применением закона Ома (5.2.16) для неоднородного участка цепи, имеют следующий вид:

I       I          
    ;     .  
                 
R1 r1     R2 r2  
           

Если цепь замкнута, то в выражении (5.2.16) 12 = 0, и получа-

ем выражение закона Ома для замкнутой цепи (рис. 5.2.5):

I          
    . (5.2.17)  
R R r  
           

Если R << r , то происходит короткое замыкание источника энер-гии. Сила тока короткого замыкания достигает максимального значе-ния и равна:



Imax   Iк.з. (5.2.18)  
  r  
                 
        , r    
I                  
               
               
          R        
                       
                       

Законы Ома в интегральной и дифференциальной формах - student2.ru Законы Ома в интегральной и дифференциальной формах - student2.ru Законы Ома в интегральной и дифференциальной формах - student2.ru

Рис. 5.2.5

Для большинства реальных источников из-за малости r режим ко-роткого замыкания является аварийным, и поэтому применяют защиту от короткого замыкания.

Наши рекомендации