Модель направленных отрезков

Задачи механики и физики используют модели, элементами которых являются объекты, характеризуемые величиной действия в заданном направлении. Такими объектами являются силы, скорости, ускорения и др. Над этими объектами определены операции сложения по определенному закону и умножения на число. При этом как сами объекты, так и результаты операции над ними не зависят от параллельного переноса в пространстве. В качестве геометрической модели или знаковой системы для определения этих объектов удобно использовать направленные отрезки, которые имеют заданное направление и длину. Сформулируем нашу первую задачу.

А. Построить систему свойств (аксиоматику), достаточную для описания модели направленных отрезков с операциями сложения и умножения на число.

Решение сформулированной задачи состоит из двух частей: 1) в определении направленных отрезков, определении указанных операций, доказательстве основных свойств этих операций и 2) указании критерия, согласно которому проверяется, достаточно ли сформулированных свойств для описания модели.

Вначале определим операции и построим систему свойств (аксиом). Направленный отрезок есть отрезок AB заданной длины, направленный параллельно некоторой прямой «l», причем порядок пары точек означает, что точка А – начало, В – конец направленного отрезка.

Для простоты будем направленные отрезки обозначать также одной буквой = и т.д.

Так как направление и длина направленного отрезка не зависит от параллельного переноса, то направленный отрезок изображает класс направленных отрезков, совместимых с параллельными переносами. Этот факт будем называть инвариантностью направленного отрезка относительно параллельного переноса.

На множестве направленных отрезков , , , ... определим операции сложения и умножения на действительное число и установим свойства этих операций.

Суммой направленных отрезков и назовем направленный отрезок = + , который имеет то же начало, что и и тот же конец, что и , если начало отрезка параллельным переносом совместить с концом (рис 11, а).

Учитывая инвариантность направленного отрезка относительно параллельного переноса, заключаем, что является направленной диагональю параллелограмма, построенного на сторонах и (рис. 4, b). Правило сложения (а) называется правилом треугольника, а правило сложения (b) – правилом параллелограмма.

Сложение обладает свойствами:

" и + = +

" , и ( + )+ = +( + )

Существует вектор такой, что " + = ( – нулевой вектор)

" $ «– » такой, что +(– )= .

(«– » называется противоположенным вектору ).

Свойства 1 и 2 схематично представлены на рис 12, а и 12, b, соответственно.

Свойство 3 представляет возможность вырождения в точку одного из слагаемых:

+ = , =

Свойство 4 представляет правило сложения

+ = = ,

в котором естественно считать =– . Длину направленного отрезка будем обозначать | |. Очевидно, что | | = | |.

Операция умножения отрезка на число a определяет направленный отрезок =a . Длина | |= |a| | |; направление то же, что и у отрезка , если a>0, и обратное, если a<0.

Свойства операции умножения:

· " ·1= .

· " a, bÎR и " a ( b ) = ( a b ) .

· " aÎR и " , a ( + ) = a + a .

· " a, bÎR и " (a+b) = a + b .

Доказательство восьми свойств сложения и умножения на число направленных отрезков можно найти в школьных учебниках, и мы их опускаем.

Теперь сформулируем понятие вектора.

Определение

Направленные отрезки с операциями сложения по правилу треугольника (параллелограмма) и умножения на число называются векторами.

В силу инвариантности направленных отрезков относительно параллельного переноса заключаем, что: 1) вектор – это класс направленных отрезков, определяемый всеми параллельными переносами любого из его представителей; 2) свойства операций сложения векторов и умножения на число также инвариантны относительно параллельного переноса.

Множество всех векторов назовем векторным пространством, а построенную модель направленных отрезков – геометрической моделью векторного пространства.

Первая часть сформулированной задачи A нами решена. Для решения второй части этой задачи построим арифметическую (координатную) модель векторного пространства.