Изучение законов вращения на кресто­образном

МАЯТНИКЕ ОБЕРБЕКА

Цель работы: изучение законов вращательного движения твердо­го тела.

Приборы и принадлежности: маятник Обербека, штангенциркуль, набор грузов.

Теоретические сведения

В механике под твердым телом подразумевают абсолютно твердое тело, т.е. тело, деформациями которого можно пренебречь. При враще­нии твердого тела все его точки движутся по окружностям, центры ко­торых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Быстроту вращения характеризуют углом поворота тела в единицу времени. Если за любые равные промежутки времени тело поворачивается на одина­ковые углы, вращение называется равномерным, а величина ω=φ/t определяет угол поворота в единицу времени и называется угловой ско­ростью. Единицей измерения угловой скорости служит радиан в секун­ду (рад/с).

При неравномерном вращении изменение угловой скорости со временем характеризуется векторной величиной, которая называется угловым ускорением . Модули угловой скорости и углового ускорения связаны с линей­ной скоростью v и тангенциальной составляющей ускорения а_τ следую­щими соотношениями:

, а_τ , (4.1)

где r - расстояние точки до оси вращения.

При вращении тела вокруг неподвижной оси изменение угловой скорости и его движения зависит от действующего момента силы. Мо­ментом силы относительно неподвижной точки О называется физиче­ская величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора , проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу (рис. 4.1):

Рис. 4.1

, (4.2) где - псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательно­го движения правого винта при его враще­нии от к . Модуль момента силы: , (4.3) где α - угол между и ; - плечо силы - кратчайшее рас­стояние между линией действия силы и точкой О.

Моментом силы относительно неподвижной оси z,называется скалярная величина М_z, равная проекции на эту ось вектора момента силы, определенного относительно произвольной точки О, лежащей на оси z (рис. 4.2). Значение момента М_z не зависит от выбора положения точки О на оси z.

Рис. 4.2

Если ось z совпадает с направлени­ем , то момент силы представляется в ви­де вектора, совпадающего с осью: . (4.4) Равнопеременное вращательное движение тел характеризуется постоян­ным угловым ускорением, оно появляется под действием сил, момент которых постоянен по величине и направле­нию.

Зависимость углового ускорения от момента силы выражена в основном законе динамики вращательного движения:

, (4.5)

где J - момент инерции тела; ε - угловое ускорение.

Момент инерции J материальной точки относительно какой-либо оси вращения называется произведением массы m этой точки на квад­рат расстояния r от точки до оси вращения:

J=mr². (4.6)

Моментом инерции тела относительно данной оси вращения на­зывают сумму моментов инерции элементарных масс, на которые разби­вается тело:

, (4.7)

где - элементарная масса; - расстояние элементарной массы до оси вращения.

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходя­щей через его центр масс, то момент инерции относительно любой дру­гой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инер­ции тела J относительно любой оси вращения равен моменту инерции J_c относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния а меж­ду осями:

J=J_c+ma². (4.8)

Описание установки

Общий вид маятника Обербека показан на рис. 4.3. На вертикаль­ной колонне (1), установленной на основании (2), прикреплены два кронштейна: нижний неподвижный (3) и верхний подвижный (4) и две неподвижные втулки: нижняя (5) и верхняя (6). Основание снабжено регулируемыми ножками (7), обеспечивающими горизонтальную уста­новку прибора.

Рис. 4.3

На верхней втулке (6) посредством основания (8) закреплен подшипни­ковый узел диска(9) и диск (10). Через диск перекидывается нить (11). Один ко­нец нити прикреплен к двухступенчатому диску (12), а на втором конце закрепле­ны грузы (13). На нижней втулке (5) посредством основания (14) прикреплен тор­мозной электромагнит (15), который удерживает систему крестовины вместе с грузами в состоянии покоя. Подвижный кронштейн (4) можно переместить вдоль колонны и фиксировать его в любом положении, определяя таким образом длину пути падающего груза. Для этого на колонне (1) нанесена миллиметровая шкала (16). На неподвижном кронштейне (3) закреплен фотоэлектрический датчик (18). К крон­штейну (3) прикреплен кронштейн (19) с резиновым амортизатором, ограничива­ющим движение грузов. На основании прибора имеется миллисекундомер.

Под действие падающего груза (13) нить разматывается с диска и вызывает равноускоренное вращательное движение крестовины. Угловое ускорение при этом тем меньше, чем больше момент инерции си­стемы относительно оси вращения, величина которого зависит от поло­жения перемещаемых грузов на крестовине.

Диск вращается равноускоренно под действием натянутой нити, силу натяжения которой можно найти по второму закону Ньютона:

, (4.9)

где P=mg - сила тяжести; Т - сила натяжения нити; m - масса па­дающего груза. Отсюда

, (4.10)

где g - ускорение свободного падения.

Вращательный момент силы, приложенной к крестовине,

, (4.11)

где r - радиус диска.

Так как поступательное движение падающего груза равноуско­ренное без начальной скорости, то . Ускорение груза:

, (4.12)

где h - высота падения груза; t - время падения груза.

Поскольку линейное ускорение груза а равно тангенциальной составляющей ускорения а_τ точки окружности диска, то угловое ускорение:

. (4.13)

Используя формулы (4.5), (4.11) и (4.13), получа­ем выражение для момента инерции, определяемого экспериментально,

. (4.14)

Теоретическое значение момента инерции маятника можно найти следующим образом:

, (4.15)

где - суммарный момент инерции двухступенчатого диска, оси и втулки крестовины; - момент инерции подвижных грузов кресто­вины; - масса подвижного груза на крестовине; R - расстояние от оси вращения до груза; - момент инерции крестовины без груза; - масса стержня без груза; - длина стержня крестовины. В связи с тем, что размеры грузов малы по сравнению с расстоянием R от оси вращения до центров масс грузов, их моменты инерции можно определить как моменты инерции материальных точек. Оставив постоянной массу падающего груза m, будем изменять расстояние от оси вращения до по­движных грузов на крестовине.

Соответственно для двух различных расстояний и моменты инерции будут определяться так:

.

Найдем разность моментов инерции, исключив при этом сла­гаемые и .

. (4.16)

Порядок выполнения работы

1. Установить избранное число грузов и определить массу падающего груза m по формуле , где - масса постоянного груза (она указана на установке); - масса каждого дополнительного груза (она указана на самом грузе). Масса подвижного груза , укрепленного на стержне крестовины, указана на установке. Радиус r диска, на который намотана нить, измерить штангенциркулем.

2. Укрепить на стержнях крестовины грузы m₁ на одинаковых расстояниях от оси вращения и измерить эти расстояния.

3. Груз массой m поднять на высоту h и установить его так, чтобы нижний край груза совпал с верхней гранью фотоэлектрического датчика 17.

4. Отсчитать по шкале, расположенной на колонне, высоту h падения груза.

5. Включить сетевой шнур в сеть питания.

6. Нажать кнопку «сеть» и проверить, показывают ли «0» все индика­торы на цифровом табло и горят ли лампочки обоих фотоэлектродов.

7. Опустив груз, одновременно нажать кнопку «пуск».

8. Записать значение времени падения груза с высоты h по миллисекундомеру.

9. Нажать кнопку «сброс».

10. Переместить падающий груз в верхнее первоначальное положение и
отжать кнопку «пуск».

11. Удостовериться, что произошло обнуление и блокировка схемы (т.е. груз самостоятельно не приходит в движение).

12. Повторить измерения времени 5 раз и определить среднее значение времени падения груза по формуле:

,

где n – число опытов.

13. Изменить положение грузов на стержнях крестовины и измерить расстояние R₂ от оси вращения.

14. Провести измерения согласно пунктам 8-13. Результаты измерений
записать в таблицу.

Таблица

№	m, кг	,кг	r, м	h, м	,м		R2,м
						t1 ср	t2 ср

15. По формуле (4.14) вычислить моменты инерции J_Э1 и J_Э2, подставив
среднее значение времени, и найти их разность .

16. По формуле (4.16) вычислить теоретическое изменение момента инерции .

17. Сравнить полученные результаты и найти относительную погрешность измерения момента инерции по формуле:

,

где - теоретическое изменение момента инерции; - экспериментальное изменение момента инерции.

18. Выполнение пунктов 16- 17 можно проводить на ЭВМ.

Контрольные вопросы

1. Дать определение абсолютно твердого тела.

2. Дать определение угловой скорости, углового ускорения. Какова связь
между линейными и угловыми скоростями и ускорениями? Единицы измерения угловой скорости, углового ускорения.

3. Почему движение падающего груза и вращение маховика являются
равноускоренными?

4. Что называется моментом силы относительно неподвижной оси? Как
определяется его направление? В каких единицах он измеряется?

5. Вывести основной закон динамики вращательного движения.

6. Какая сила сообщает вращающий момент маятнику? Как направлен
момент этой силы?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5