Метод наложения (суперпозиции)

Метод основан на принципе суперпозиции , обусловленным линейно­стью электрической цепи. Если линейная цепь подвергается воздействию одновременно нескольких источников, то реакция цепи равна сумме реак­ций на каждое воздействие отдельно. Тогда принцип наложения можно сформулировать следующим образом: ток в любой ветви ЭЦ равен сумме токов, обусловленных в отдельности каждым источником, действующим в отсутствии остальных; напряжение между двумя точками ветви равно сумме напряжений, обусловленных в отдельности каждым источником, действующим в отсутствии остальных.

4.1. Алгоритм расчета тока в k-той ветви (напряжения между точками «а» - «б» в k-той ветви).

I. Получают столько L частичных схем, сколько в исходной схеме ЭЦ ис­точников (ИИН и ИИТ).

II. В каждой частичной схеме оставляют один источник, заменяя осталь­ные их внутренними сопротивлениями [0 для ИИН, ∞ (разрыв) для ИИТ].

III. Рассчитывается ток k-той ветви - Ikl (напряжение Uабkl в k-той ветви) каждой l-ной частичной схемы.

IV. Рассчитывается ток k-той ветви - Ik (напряжение Uабk в k-той ветви):

Ik = Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru . Uабk = Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru , руководствуясь правилом знаков – если направления токов (напряжений) в полной и частичной схеме совпадают, то токи (напряжения) берутся со знаком «+», если не совпадают – со знаком «-».

Пример 4

Рассчитать ток ветви а-б схемы рис.4 методом наложения.

Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru Дано:

Е1, В J, А R1, Ом R2, Ом R3, Ом R4, Ом
0,2

Расчет.

Поскольку исходная схема содержит два источника, ток Iх будет определяться как суперпозиция токов Iх = Iх` ± Iх`` ветви а-б двух частичных схем (рис. 5 и рис.6).

I. Расчет тока Iх` осуществляется с ис­пользование правила делителя тока, так как ток J разветвляется по двум ветвям:

Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru Iх` = Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru .

Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru II.Для расчета тока Iх`` можно воспользоваться методом узловых потен­циалов при условии, что потенциал точки «в» ра­вен нулю, тогда ток

Iх`= Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru .

Согласно МУП потен­циал φа определяется из уравнения

Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru Подставив числовые значения получаем:

Iх = Iх` ± Iх``= 0,34 А

Пример 5

Рассчитать напряжение Uаб схемы рис.7 методом наложения.

Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru Дано:

Е1, В J, А R1, Ом R2, Ом R3, Ом
0,2

Расчет:

Поскольку исходная схема содержит два источника, напряжение Uаб будет оп­ределяться как суперпозиция напряжений Uаб = Uаб`± Uаб``для двух частичных схем (рис.8 и рис.9).

Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru Очевидно, что напряжение Uаб`= -Е1, поскольку источник Е1 работает в режиме Х.Х. и точка «а» имеет отрицательный потенциал.

Напряжение

Uаб``= - J R1 = -10 В.

Таким образом, напряжение Uаб=-60В.

5. Метод эквива­лентного генератора

Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru Метод применяется в том случае, когда необходимо рассчи­тать ток какой-либо ветви сложной схемы. Ветвь с искомым током IX (рис.10) представляется нагрузкой активного двухполюсника (АД), который заменяет собой всю остальную схему ЭЦ. АД в свою очередь реализуется в виде реального источника напряжения (РИН), величина ЭДС которого равна напряжению холостого хода на зажимах 1-2 АД, а внутреннее сопротивление - вход­ному сопротивлению этого АД. Напряжение холостого хода можно рассчитать любым из известных методов расчета схемы ЭЦ, для расчета же входного сопротивления необходимо превратить АД в пассивный двухполюсник, для чего заменить в нем идеальные источники энергии их внутренними сопротивлениями (ИИН - 0; ИИТ - ∞).

Пример 6

Рассчитать ток ветви 2-4 схемы рис.11 используя метод эквивалент­ного генератора (ЭГ).

Дано:

Е1, В Е2, В J, А R1, Ом R2, Ом R3, Ом R4, Ом R5, Ом
0,2

Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru

Расчет.

Расчет параметров ЭГ.

Расчет внутреннего сопротивления ЭГ производится по схеме рис.12, как входного сопротивления относительно зажимов 2-4 пассивного двухполюсника:

Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru = 73,3 Ом.

Для расчета напряжения холостого хода целесообразно использовать метод наложения. Согласно методу - U24 = U24`± U24``, где U24`- напряже­ние между точками 2-4 первой частичной схемы, U24``- напряжение между точками 2-4 второй частичной схемы. Для контура обхода схемы рис.13 имеет место следующее равенство: U24` - I(R2+R4)+E1= 0, где ток I = Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru . U24` = =I(R2+R4)-E1 = -16,6 В, Для контура обхода схемы рис.14 можно записать: U24`` + I2R4 – I1R2 = 0, откуда = I1R2 - I2R4 = Токи I1 и I2 определяются по правилу деления тока источника J:

Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru = 0,079 А Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru = 0,12 А.

U24`` = 3,45 В. Итак, UXXЭГ = U24. = -13,15 В. Следует обратить внимание на то, что ЭДС ЭГ (ЕЭГ) направлено от точки 2 к точке 4, т.к. UXXЭГ – отрица­тельная величина.

Расчет искомого тока. Согласно закону Ома для полной цепи:

IХ = Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru .

Подставив в полученные выражения числовые значения получаем:

IХ= 0,566 А.

Баланс мощностей

Поскольку в цепи постоянного тока не происходит накопления энергии, согласно закону её сохранения, сумма мощностей, расходуемых в пассивных двухполюсниках и мощностей теряемых внутри генераторов должна быть равна алгебраической сумме мощностей, отдаваемых всеми генераторами:

Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru . (5)

Соотношение 4.1 и называется балансом мощностей ЭЦ постоян­ного тока.

Анализируемая схема может содержать источники двух видов: ИИН и ИИТ, поэтому левую часть равенства 4.1 можно представить в виде:

Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru (6)

где In – ток ветви с ИИН (всего ИИН – N), (φa – φb) – разность потенциалов зажимов ИИТ (всего ИИТ – M).

Пример 11

Рассчитать баланс мощностей для схемы рис.1, воспользовавшись результатами расчета токов примера 1. Согласно соотношениям (5) и (6) выражение, описывающее баланс мощностей, имеет вид:

Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru .

В числовом выражении (величину φ1 возьмем из примера 7) получаем примерное, обусловленное конечной разрядностью, равенство 55 ≈ 56.

       
    Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru
 
 
 

Наши рекомендации