Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида

где p, q − постоянные коэффициенты.

Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение:

Обшее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи:

1. Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: D > 0. Тогда корни характеристического уравнения k1 и k2 действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией

где C₁ и C₂ − произвольные действительные числа.

2. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D = 0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k₁ второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:

3. Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D < 0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k₁ = α + βi, k₁ = α − βi. Общее решение записывается в виде

11.Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами

Характеристическое уравнение

- корни характеристического уравнения.

Общее решение

1. Все корни характеристического уравнения различные, тогда

Если среди корней есть пары комплексно-сопряженных корней, например , решение можно записать в виде

2. Среди корней характеристического уравнения есть кратные, например, имеет кратность k (остальные - простые), тогда

Если среди корней есть пары сопряженных корней кратности k, например , решение можно записать в виде