Ежелгі Қытай ғылымы

Ежелгі қытай елінің математикалық жетістіктері Мысыр, Вавилон, Үндістан, Орта Азия елдеріндегідей мәдениеті мен техника дәрежесіне тікелей байланысты болды. Қытайлықтардың ғылыми мағлұматтарының бастауы – олардың күнпарақ жасауы жөніндегі іс әрекеттері. Өйткені өмір қажеттері мен талаптарын қанағаттандыратын күнпарақ жасауы үшін тек аспан денелеріне бақылау жүргізу жеткіліксіз, едәуір астрономиялық білім-тәжірибелерді де жинақтау керек болады. Қытай астрономдары аспан шырақтарының қозғалысын, шығуын, батуын, үнемі зерттеп, бақылап, ай жылы мен күн жылы арасындағы қатысты анықтауды ерте қолға алған.

Біздің заманымыздан көп бұрын-ақ қытайлықтар Сатурнның айналу периодын тәп-тәуір дәлдікпен есептеп шығарады. Олар осымен қатар Жердің шар тәрізді екенін анықтап, әлемнің шексіз екенін білген.

Біздің заманымызға дейінгі V ғасырда өмір сүрген Қытай астрономы Ши-Шэнь ғылым тарихында бірінші рет жұлдыздар катологін жасайды. Бұл каталогта 800-ге тарта жұлдыздың орны көрсетілген.

Ежелгі қытайлықтар аса ірі сан алуан құрылыс жұмыстарын жүзеге асырады. Аты шулы қытай қорғанын ұзындығы 1700 км канал қазу (VII-VIII ғ.) сияқты күрделі істер үлкен инженерлік-техникалық білім-дағдыларды, шеберлікті қажет етуі сөзсіз. Қытайлықтар б.з І-ІІ ғасырларында-ақ қағаз жасауды жолға қояды, VII ғасырдан бастап кітап басуды меңгерді. Осы қарсаңдарда теңізшілер практикасында тұңғыш рет компас, техника мен әскери мақсатқа дәрі қолданылды.

Бұл сияқты мәдени-техникалық жетістіктер математикалық білім-дағдыларды қажет етуі табиғи нәрсе.

Өте ертедегі қытайлықтардың математикалық деңгей-дәрежесі қандай болғанын сипаттайтын мағлұматтар аса көп емес. Қазіргі қытай математик-тарихшысы Ли Ян біздің заманымызға дейінге ХХV ғасырда-ақ Қытайда математика бастамалары болғанын дәлелдейді.

Ежелгі қытайлықтардан бізге мирас қалған тамаша математикалық еңбек «Тоғыз кітаптағы математика» («Цзю чжан суань шу») деп аталады. Бұл еңбек шамамен біздің заманымыздың бас кезінде жазылса керек. Қытай Ғылым академиясының академигі – Хуа-Локен «Тоғыз кітаптағы математиканы» былай деп жазады: «Бұл шығарма. Ежелгі Қытай математикасының ғажап ескерткіштерінің бірі болып табылады, ол біздің заманымыздан аз бұрын құрастырылған болуы керек. Ежелгі Қытай математикасының дамуында бұл еңбек маңызды қызмет атқарады. Хань династиясы заманында «Тоғыз кітаптағы математика» математикадан емтихан тапсыру үшін пайдаланылатын міндетті оқулық болып саналған. Бұл шығарма көне қытай тілінде жазылғандықтан оны басқалар түгіл, қытайлықтар өзінің түсінуі қиынға түседі».

Бұл тұрғыда айтатын бір нәрсе, ежелгі қытайлықтар жастарға математикалық білім беруге көп көңіл бөлген. Мысалы, біздің заманымызға дейін мың жылдай бұрын Қытайда балаларға 6-8 жасынан бастап-ақ арифметиканы үйретудің жөн жобасы жасалған.

Тан династиясы кезінде императорлық академияның оқу жоспарына математика міндетті пән ретінде енгізіліп, шәкірттер оны үзбей жеті жыл бойын оқуға тиісті болған.

«Тоғыз кітаптағы математика» қамтылған материалдарды салыстыра тексерген ғалымдардың топшылауына қарағанда мұнда біздің заманымызға дейінгі қытай математикасының мың жылдық жетістігі жинақталған көрінеді. Бұл еңбек кейін де талай рет қайта өңделіп, әр кездегі математиктер оған қосымшылар енгізіп, кемшіліктерден артылып отырған. ХІІІ ғасырда жазылған «Математиканың тоғыз тарауы» және басқа трактаттар осы «Тоғыз кітаптағы математиканың» заңды жалғасы деп санаумызға болады.

Қытай математикасы мен астрономиясы ХІІІ-ХІV ғасырларға дейін біршама үздіксіз дамып келіп, содан соң тоқырауға түседі.

§2. Қытай математикасы.

Ежелгі қытай математиктерінің қол жеткен табыстарын қосымша баяндау алдында мынаны ескерткен жөн. Қытай математикасы да ежелгі Мысыр және Вавилон т.б математикасы сияқты басқа ғылым білімдерден, дағды-тәжірибелерден өз алдына бөлінбеген, салаланбаған қалпында тұтас кездеседі. Дәлелдеуі жоқ, баяндауы дүдәмал, яғни есепті шешу үшін қалай жасау керектігі нұсқаланғанымен, дұрыс-бұрыстығы сарапқа салынбаған күйде беріледі. Дегенмен, шығарылған есептердің мазмұнына, шешу жолына қарай отырып, ондағы қазіргі салаларға жататын мағлұматтарды шартты түрде ажыратуға болады.

Арифметика.«Тоғыз кітаптағы математикада» көне қытайлықтарда негізінен екі түрлі санау жүйесі болған: иероглифтік таңбалар және таяқша цифрлар. Иероглифтік жүйе сандарға амалдар қолдану үшін емес, көбінесе сандарды жазу үшін қолданылған. Есептеулер таяқша цифрлар арқылы жүргізілген. Бұл санау жүйесі қазіргі біз қолданып жүрген позициялық жүйеге жақын келеді. Мұнда нөл таңбасы бастапқы кезде атымен болмаған, оны қытайлықтар б.з VІІІ ғасырында сырттан алған; бірлік цифрлар – жүздік, он мыңдық т.б сандардың орнына ал ондық цифрлар мыңдық , жүз мыңдық т.б сандардың орнына қолданатын болған.

Қытайлықтар арифметикалық есептеулерді есептеуіш тақтаның (абак немесе есепшот тәріздес) бетінде жүргізілген. Цифр таяқшалар осы тақтада есептеулерге байланысты шыққан және онымен тығыз байланыста дамыған. Қытайдың осындай есептеу жүйесінің кемелдігі – олардың математикасында есептеу жағынан басым болуына әсерін тигізсе керек.

Қытай математикасында жай бөлшектер және оларға амалдар қолдану өте ертеден белгілі болған деуге негіз бар. Бір қызығы ұзындық ұзындық өлшемдер жүйесіне байланысты қытайлықтар ондық бөлшектерді ашуға жақындаған. Оларда біздің заманымыздың бас кезінде-ақ ұзындық өлшемдері тағайындалады: 1 чп=10 цунь; 1 цунь=10 фэнь; 1 фэнь=10 ли; 1 ли = 10 фа; 1 фа=10 хао т.с.сс

Мысалы, 3,14159 санын қытайлықтар былай атайды: 3-жан, 1 чи, 4 цунь, 1 фэнь, 5 ли, 9 хао.

Кейінірек олар разряд атауларын алып тастаған. Сөйтіп, ондық бөлшектер қытай математикасында әлі де болса метрологиямен (өлшемдер жүйесімен) тығыз байланысты, өз алдында математикалық абстрактылы сан ретінде қабылданбайды. Ондық бөлшектерді еш нәрсемен байланыссыз дербес ашып, пайдаланушы Орта Азия математигі Жәмшид әл-Каши (XV ғ.). Оның бұл жөнінде Қытай дәстүрімен таныстығы болуы мүмкін. Бұл қатыстың жай-жапсары әлі де зерттеле түсуді қажет етеді.

Алгебра.Қытай математиктері бір белгісізі бар теңдеулерді және оларды шешудің бірнеше әдістерін білген. Солардың бірі екі рет жалған жору ережесі деп аталады. Бұл әдістің мәнісі мынадай: ax=b теңдеуі берілсін. Белгісіз х-қа қалаумызша екі мән береміз: (х=х₁, х=х₂). Сонда ах₁=b+d₁ және ax₂=b+d₂ теңдіктері шығады. Мұнда d₁ және d₂ – жіберілген қателер: Бұлардың пропорциясын құрып, одан белгісіздің мәнін есептеп табады.

Қытай алгебрашылардың тағы бір елеулі табыстарының қатарына олардың фан-чэнь деп аталатын әдісті табуын қосуға болады. Олар бұл әдіс арқылы n белгісізі бар өзара үйлесімді n сызықтың (n=2, 3, 4, 5) теңдеулер жүйесін шешкен. Фан-чэнь әдісі – қазіргі жоғары алгебрада қолданылып жүрген анықтауыштар әдісінің бастамасы. Бұл әдістің жобасын қазіргі символикада былай көрсетуге болар еді.

Сызықтық теңдеулер жүйесі берілсін:

Бұл жүйенің мына түрдегі кеңейтілген матрицасын құрады.

Енді бұл матрицаны бас диагональдан жоғары және сол жақта орналасқан коэффициент сандар нөлге тең болатындай етіп түрлендіреді:

Бұл матрица теңдеулердің мынадай сатылы жүйесіне сәйкес келеді:

А₁₁х₁+а₁₂х₂+...+а_1пх_п=b₁₁

A₂₂x₂+…+a_2nx_n=b₂

Осыдан біртіндеп теңдеулер жүйесінің түбірлері анықталады.

Қытай математиктерінің теңдеулер жүйесін шешудегі бұл әдісін дамыта келіп,жапон математигі Шенсуке Кова 1683ж өз бетімен анықтауыщтар жайлы ілім құрады.Европада анықтауыштар теориясының негізін салғандар Кардано (1545),Лейбниц (1693) және Крамер (1750) болды.

ХIII ғасырдағы қытай математикасындағы үлкен жаңалық үшінші және одан жоғары дәрежелі сандық теңдеулерді жуықтап шешу әдісінің ашылуы болды.

Сандық куб және және одан жоғары дәрежелі теңдеуді шешу ашық түрде тұңғыш рет қытай математиктерінде кездеседі. Мысалы VІІ ғасырдың бірінші жартысында математика Ван Сяо-Тун х²+ах²-в=0 түрінднгі теңдеуді жуықтап шешу алгоритмін ұсынады. Кейіннен бұл әдісті басқа математиктер жетілдіреді. Олар мұндай теңдеуді шешу әдісіне сандардан жуықтап квадрат, куб т.б дәрежелі түбір табу алгоритмін жасау жолымен келсе керек. Мысалы, математик Цинь-Цзю-Шао , сияқты сандардың түбірін табу үшін теңдеуін шешуді қарастырған. Осы әдіспен теңдеуінің түбірін тапқан (х=840).

Бұл әдісті қытайлықтар «Тянь Юань»(«аспан элементі») деп атаған. Ол қазіргі жоғарғы алгебрадағы Горнер – Руффини әдісіне пара пар. ХІХ ғасырдағы Европа математиктері Горнер және Руффини қытайлықтарға тәуелсіз ашқан.

Арифметикалық есептеулер жүргізу, теңдеулер шешу алгоритмдерін жасау барысында Қытай математиктері математика тарихында тұңғыш рет теріс сандар ұғымын енгізген.Олар теңдеудің оң және теріс коэффициенттерін және сандардың оң,терісін ажырату үшін әр түрлі таяқшалар мен таңбалар пайдаланған.Қытай математиктері теріс сандарды қосу,азайтудың қарапайым ережелерін тағайындаған.Бұл ережелерді қазіргі таңбалау жүйесінде былай жазуға болады:

(±а)-(±b)=±(a-b)

(±a)-(±b)=±(a+b)

0-(±b)=±b

(±a)+(±b)=±(a-b)

(±a)+(±b)=±(a+b)

0+(±b)=±b

Математикаға теріс таңбаны енгізу және оларға амалдар қолдану ережесін тағайындау жалпы сандар жөніндегі ілімнің қалыптасуына үлесін қосты.Қазір теріс сандар бүтін сандардың (оң сандар мен пара-пар және оларды симметриялы түрде толықтыратын)бір бөлігі болып отыр.

Қытайлықтар анықталмаған теңдеулерге келтіретін көптеген есептерді қарастырған.Солардың бірі-«Құстар жайлы есептер».Б.з-ң IIIғасырында жазылған бір математикалық қолжазбадан (авторы Сун Цзы) осы мазмұнды бір есеп келтірейік:«Егер әтеш 5 теңге,мекиен 4 теңге,ал 4 балапан 1 теңге тұрса және оны үш түрден барлығы 100 құс сатып алу қажет болса,онда 100 теңгеге қанша әтеш,қанша мекиен және балапан сатып алуға болады?».Бұл есеп

5х+4у+z/4=100

x+y+z=100

анықталмаған теңдеулер жүйесіне келеді.

Жауабы:15 әтеш,1 тауық,84 балапан.Осы қолжазбадан тағы бір есеп: бір санды 3-ке бөлсек,қалдығы 2,ал 5-ке бөлсек,қалдығы 3,ал 7-ге бөлсек,қалдығы 2 болады.Бұл қандай сан?

Шешу жолы:»Санды 3-ке бөлгенде қалдығы 2,сондықтан ізделінді санның орнына 140 алу керек.Санды 5-ке бөлгенде қалдығы 3-ке тең,сондықтан ізделінді сан орнына 63-ті алу керек.Санды 7-ге бөлгенде қалдық 2 болады.Сондықтан ізделінді сан орнына 30-ды алу керек.Бұл сандардың барлығын қоссақ,233 шығады.Енді осы саннан 210-ды шегеріп,есептің жауабын табамыз.Жауабы:23болады.

Бұл қазіргі сандар теориясына жататын есеп.Атап айтқанда,модульдері қос-қостан өзара жай болып келген үш салыстырудың сызықтық жүйесіне келеді.

X=r₁(modq₁),x=r₂(modq₂),x=r₃(modq₃),мұнда r₁=2,r₂=3,r₃=2,q₁=3,q₂=5,q₃=7.

Бұл жүйені түрлендіріп х=233-105t анықталмаған теңдеуіне келтіруге болады;t=2 болғанда,х-тің ең кіші мәні 23 болады.Қытайлықтар сан қатарының қосындысын табу есептерімен де көп айналысқан.Арифметикалық және геометриялық прогрессиялардың қосындыларынан басқа да олар геометриялық әдіспен бірсыпыра қатарлар қосындысын таба білген.

Геометрия.Қытайлықтардың геометрия жөніндегі ұғымдары өте ертеден басталады. Археологиялық қазбалар біздің заманымызға дейінгі ХІІІ-ХІІ ғасырларда-ақ қытай ою-өрнектерінде 5 – 7 – 8 – 9 бұрышты дұрыс көпбұрыштар кездескенін дәлелдейді. Осыдан сәл кейінірек астрономиялық шығармаларда қабырғалары 3, 4, 5 өлшем болып келген тік бұрышты үшбұрыш үшін Пифогор теоремасы белгілі болған.

Қытай математиктерінің тағы бір ерекшелігі олар көбінесе құрылыс практикасында көп ұшырасатын әр түрлі фигуралардың көлемін табумен айналысады.

Шеңбер ұзындығының диаметрге қатынасын көрсететін π санын табу мәселесі қытай математиктерінің назарын аса аударады.Бұл жөнінде олар үлкен нәтижелерге ие болады.Мәселен,Лю Хуэй (б.з IIIғ) дөңгелекке іштен және сырттай 3072-бұрышты көпбұрыштар сызу арқылы π=3.14159 мәнін табады.Vғасырда өмір сүрген математик Цзу Чун-чжи π санының 7-таңбасына дейінгі дұрыс мәнін табуға мүмкіндік беретін 3,1415926<π<3,1415927 теңсіздігін тағайындайды.

Қытай математикасына жасалған осы қысқаша шолудың өзі олардың математикалық жетістіктерінің жоғары дәрежеде болғанын көрсетеді. Мұның басты жетістігі – есептеу техникасының кемелдігін есептеу алгоритмдерінің молдығы.

Монғол шапқыншылығының кесапатынан туған саяси-экономикалық күйзеліс,кертартпа феодалдық өндіріс қатынасының нашарлауы Қытай елінде ғылымның дамуына зиянды әсерін тигізді.Осындай себептер XIVғасырдың бас кезінде Қытай математикасы мен астрономиясының әлсіреп,мүлде тоқырауына әкеліп соқты.

Ежелгі қытай математикасы мен басқа елдер математикасы арасындағы іліктестік, қарым-қатыс әлі толық зерттеліп біткен жоқ. Алайда бірсыпыра анықталған фактілер қытай математикасының үнді, ежелгі грек және Орта Азия елдері математикасымен азды-көпті байланыста болғанын анықтайды.