Интегрирование простейших иррациональных функций

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ

ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ (ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ,

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ)

Вид интеграла	Метод интегрирования
	Универсальная тригонометрическая подстановка , , тогда, , , .
, если нечетная относительно :	Подстановка , тогда , .
, если нечетная относительно :	Подстановка , тогда , .
, если четная относительно и :	Подстановка , тогда , , .
m и n – целые числа	1) если m – нечетное положительное число, то подстановка ; 2) если n – нечетное положительное число, то подстановка ; 3) если m и n – четные неотрицательные числа, то для преобразования подынтегральной функции воспользоваться формулами , , ; 4) если m и n являются одновременно четными или нечетными и хотя бы один из них отрицателен, то подстановки , ; 5) если четное отрицательное число, то подстановки , .
,	Подстановка , , – дифференциальный бином.

Вид интеграла	Метод интегрирования
где m – целое положительное число	Степень тангенса и котангенса последовательно понижается с помощью формул , .
, , где n – четное положительное число.	Применить формулы , .
,	Интегралы от нечетной положительной степени секанса и косеканса проще всего находятся по рекрентным формулам, полученным методом интегрирования по частям
, , .	Применить формулы , , .
	Подстановка или или для преобразования подынтегрального выражения использовать формулы , , , , , , , , , ,
	Подстановка ,

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Вид интеграла	Метод интегрирования
R – рациональная функция, , - дробно-рациональные числа, т.е. , , …, .	Подстановка , где s – общий знаменатель дробей .
, R – рациональная функция, , , - дробно-рациональные числа, т.е. , , …, .	Подстановка , где s – общий знаменатель дробей .
1) , 2) , 3) .	1) или или ,   2) или или ,   3) или или .
	Метод выделения полного квадрата, линейная подстановка
	1) если : первая подстановка Эйлера – ; 2) если : вторая подстановка Эйлера – ; 3) если квадратный трехчлен имеет различные действительные корни х1 и х2, т.е. : третья подстановка Эйлера – или .
	Интеграл вычисляется с помощью вспомогательного соотношения , где - многочлен с неопределенными коэффициентами, постоянные , находятся дифференцированием вспомогательного соотношения с последующим применением метода сравнения коэффициентов при одинаковых степенях.
	Интеграл сводится к интегралу вида c помощью подстановки .
,	Подстановка
,	2-я подстановка Абеля
, , - многочлен степени	Разложить рациональную дробь на простейшие, свести к интегралам VIII и IX.
	1) если квадратные трехчлены и совпадают или отличаются множителем, то J представить в виде линейной комбинации интегралов и , для – подстановка , для – вторая подстановка Абеля ; а) подстановка , где µ и ν подбираются так, чтобы в квадратных трехчленах исчезли члены с t в первой степени. б) подстановка .