Интегрирование некоторых иррациональностей

Рациональной функцией R(x) называется функция, равная отношению двух многочленов:

, (1)

Где m, n – целые положительные числа; b_i, a_j ÎR; , .

Если m<n, то R(x) называется правильной дробью, если m ³ n, - неправильной дробью.

Всякую неправильную дробь путем деления числителя на знаменатель можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби: ,

где , - многочлены; - правильная дробь; l < n.

Например, .

Так как всякий многочлен легко интегрируется, то интегрирование рациональных функций сводится к интегрированию правильных дробей. Поэтому в дальнейшем рассматрим функции R(x) при условии m<n.

Простейшей дробью называется дробь одного из следующих четырех типов:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ,

Где A, a, M, N, p, q – постоянные числа; k – целое, k ³ 2; p²-4q < 0.

Очевидно, что интегралы от простейших дробей первого и второго типов находятся легко:

Методику нахождения интегралов от простейших дробей третьего типа рассмотрим на примере:

Задача 5. Найти

Решение. Функция, стоящая под знаком интеграла является простейшей дробью, так как дискриминант выражение стоящее в знаменателе <0. Поэтому сначала выделам в числителе производную знаменателя:

Представили интеграл в виде суммы двух интегралов, рассмотрим каждый из них по отдельности.

.

В знаменатели дроби второго интеграла выделим полный квадрат:

,

Возвращаясь к первоначальному интегралу:

.

Задача 6.Найти

Решение. На основании теоремы о разложении правильной дроби в сумму простейших дробей имеем: При и находим , что , , т.е. A = 1/4, B = 1/2.

Для вычисления значения C приравняем в тождестве коэффициенты при .

Получим 0 = A+C, т.е. C = -1/4.

Окончательно имеем

Интегрирование некоторых иррациональных функций.

Не для всякой иррациональной функции можно найти первообразную в виде элементарной функции. Рассмотрим интегралы от некоторых иррациональных функций, которые с помощью определенных подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной.

Интеграл вида

где R – рациональная функция , a, b, c, d – постоянные , r_i, s_i – целые положительные числа , , приводится к интегралу от рациональной функции новой переменной u с помощью подстановки:

( здесь число m – наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей дробей , т.е. m = НОК ( )).

Задача7. Найти

7.1 7.11

7.2 7.12

7.3 7.13

7.4 7.14

7.5 7.15

7.6 7.16

7.7 7.17

7.8 7.18

7.9 7.19

7.10 7.20

Рекомендуемая литература

1. Данко П.Е., Попов А. Г.. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: «Высшая школа», 2006 г.

2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. Ростов-на-Дону: «Феникс», 1998 г.

3. Проскуряков И. В.. Сборник задач по линейной алгебре. М.- С.-Пет.: «Физматлит», 2001 г.

4. Шипачев В. С. Высшая математика. М.:”Высшая школа”, 1994 г.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к практическим занятиям по дисциплине «Математический анализ»

для студентов специальностей

230401 «Прикладная математика»

Составители: Дьякова Е.В.

Редактор:

Подписано в печать

Формат 60х84 1/16 усл. п. л. – . Уч.-изд. л. – 1,7.

Бумага газетная. Печать офсетная. Заказ Тираж 50 экз.

ГОУВПО «Северо-Кавказский государственный технический университет»

355029, г. Ставрополь, пр. Кулакова,2

Издательство Северо-Кавказский государственный технический университет

Отпечатано в типографии СевКавГТУ