Уравнение Бернулли для сжимаемого газа

Уравнения аэродинамики больших скоростей

Уравнение Бернулли для сжимаемого газа

Рассмотрим идеальное течение газа без вязкости. Кроме того, будем считать газ легким, следовательно, в нем будут отсутствовать массовые силы.

В потоке газа выделим элементарную струйку, ограниченную трубкой тока (рис.1.1). Здесь нужно вспомнить эти понятия основ аэродинамики и динамики полета.

Линия тока – кривая в потоке газа, в каждой точке которой вектор скорости в данный момент времени направлен по касательной.

Трубка тока – поверхность, образованная линиями тока, проведенными через все точки произвольного замкнутого контура площадью dS. Трубка тока считается непроницаемой для воздушных частиц.

Элементарная струйка – часть потока газа, ограниченная трубкой тока.

В связи с этим можно считать, что поток газа состоит из совокупности элементарных струек.

Рис.1.1 Элементарная струйка в потоке газа

Запишем для элементарной струйки 2-ой закон Ньютона

, (1.1)

который показывает, что произведение массы (газа) на ускорение равно сумме всех сил, действующих на тело (в данном случае – элементарную струйку). Проведем анализ данного уравнения (рис.1.2).

Рис.1.2 К выводу уравнения Бернулли для потока сжимаемого газа

В правой части уравнения (1.1) на элементарную струйку действуют силы давления по площадкам dS1, и dS2 , которые можно считать равными

.

По боковым поверхностям элементарной струйки силами давления пренебрегаем, так как они взаимно уравновешиваются. Силами трения (идеальный газ) и силами тяжести (легкий газ) также пренебрегаем.

Тогда

или учитывая

,

.

Учитывая и сокращая на dS, имеем

. Перенося – dp в левую часть уравнения, и разделив обе части уравнения на , получим

. (1.2)

Внося скорость V под знак дифференциала, получим

. (1.3)

Уравнения (1.2) и (1.3) являются двумя формами записи уравнения Бернулли для газа в дифференциальном виде. Вспомним, что в основе уравнения Бернулли лежит закон сохранения энергии.

Современные магистральные ВС (Ту-204, Airbus A320 и др.) летают с достаточно большими скоростями. При числах Маха М>0,4 плотность газа начинает изменяться, и движение газа уже нельзя считать движением несжимаемой жидкости.

Чтобы найти конечные величины p и V или связь между этими параметрами в дифференциальном уравнении Бернулли, необходимо проинтегрировать уравнение (1.3)

. (1.4)

Для сжимаемого течения зависимость между p и r (без определения которой нельзя выполнить интегрирование) имеет вид

Для изоэнтропного (энтропия S не меняется), энергоизолированного (над газом не совершается работа) течения вместо показателя политропы n можно подставить k, и тогда интегрирование уравнения (1.4) можно выполнить.

В случае сжимаемого газа, когда плотность газа уже непостоянна, уравнение (1.4) после интегрирования преобразуется к виду

(1.5)

где k – постоянная изоэнтропы (адиабаты) и для воздуха равна 1,4.

Это и есть уравнение Бернулли для потока сжимаемого газа.

Величина в формуле (1.5) учитывает влияние сжимаемости. Для газа как несжимаемой жидкости при М<0,3….0,4 и r=const, k®¥ и последнее уравнение имеет следующий вид

Заметим, что уравнение Бернулли при M ≤ 0,4 устанавливает связь между статическим давлением и скоростью в струйке.

Если умножить на плотность r обе части уравнения, получим

В результате имеем окончательную форму записи уравнения Бернулли для несжимаемого газа

(1.6)

Сравнивая формулы (1.5) и (1.6), приходим к выводу, что для измерения параметров сжимаемого течения газа (полет на больших скоростях) нужно вводить поправку на сжимаемость

Величина показывает, что чем больше величина скорости полета (М), тем больше поправка на сжимаемость e.

Если воспользоваться соотношением, с помощью которого определяется скорость звука или , и преобразовать первый член уравнения (1.4), то получим формулу связи скорости звука и скорости газа

Последняя форма записи нашла применение в теоретической аэродинамике (газодинамике).

Главный вывод уравнения Бернулли заключается в следующем: в потоке сжимаемого газа скорость и давление связаны обратно пропорциональной зависимостью.

1.2 Поправка на сжимаемость при измерении скорости полета, влияние на нее числа Маха и высоты полета. Индикаторная скорость

При измерениях скорости используется указатели скорости полета магистральных ВС, которые, как правило измеряют величину перепада давления между камерой полного давления (давления торможения) р0 и камерой статического давления р. Такие приборы называются приёмниками воздушного давления – ПВД (ППД – когда измеряется только р0).

ПВД измеряют скоростной напор набегающего потока

отсюда следует

. (1.7)

Здесь q – скоростной напор,

Dp – перепад давления или разность между полным и статическим давлением,

r – плотность воздуха на данной высоте,

V – скорость воздушного потока.

Однако указатель скорости измеряет не саму скорость, а скоростной напор . Поскольку при изменении высоты и скорости существенно изменяется плотность r, что происходит при полете магистральных ВС, то при измерении скорости полета возникают погрешности.

Воздушная (истинная) скорость полета V не совпадает с той скоростью, которую показывает прибор, т.к. на ПВД оказывает влияние создаваемые самолетом возмущения, а также сжимаемость воздуха. Кроме того, величина воздушной скорости зависит от инструментальной и других поправок.

Градуировка приборов для измерения скорости соответствует лишь полету у земли, когда Н = 0, а (или 1,225 ). При наборе высоты плотность падает и r < r0.

Если подставить в формулу (1.7) значение плотности r0, то ПВД позволяет измерять так называемую приборную скорость

Приборная и воздушная скорости связаны

(1.8)

где

.

Комбинированные указатели скорости (КУС) ВС, летающих на числах Маха не свыше 0,85¸0,9, показывают скорость по прибору Vпр по толстой стрелке и воздушную V по тонкой стрелке (рис.1.3).

При полете на малой высоте, где r воздуха примерно равна плотности по стандартной атмосфере ( ) приборная и воздушная скорости совпадают, и обе стрелки движутся по шкале, будучи совмещенными. С подъемом на высоту воздушная (истинная) скорость превышает Vпр и стрелки расходятся, образуя своеобразную “вилку” (см. рис.1.3).

Рис.1.3 Зависимость воздушной и приборной скорости от высоты полета при q=const

Скорость, которую показывал бы идеальный (не имеющий погрешностей) указатель скорости, называется индикаторной.

Индикаторная скорость в аэродинамике – это идеальная скорость, которую показывает прибор с учетом всех поправок.