Операции над нечеткими отношениями

Операции над нечеткими отношениями аналогичнысоответствующим операциям для обычных отношений. Однако, как и для нечеткихтеоретико-множественных операций, они могут выполняться различными способами.Ниже приводятся определения операций над нечеткими отношениями с использованиемтреугольных нормы и конормы (см. раздел 1.3).

Определение 38.Пересечением нечетких отношений и , заданных на , называется нечеткоеотношение сфункцией принадлежности , , где ‑ t-норма.

Определение 39.Объединением нечетких отношений и , заданных на , называется нечеткоеотношение сфункцией принадлежности , , где ‑ s-норма (t-конорма).

Пересечение и объединение нечетких отношений " приблизительноравно " и" намногоменьше, чем "из примеров 5 и 6 показаны на рис. 12. В качестве t-нормы и s-нормыиспользовались операции нахождения минимума и максимума, соответственно.

Рисунок 12 -Операции над нечеткими отношениями из примеров 5 и 6

Определение 40.Дополнениемнечеткого отношения , заданного на , называется нечеткоеотношение сфункцией принадлежности , .

Определение 41.Максминной композицией (произведением) нечетких отношений и , заданных на и , называетсянечеткое отношение на множестве с функцией принадлежности , , , . В случае конечныхмножеств матрицанечеткого отношения получается как максминное произведениематриц и . Эта операциявыполняется как обычное произведение матриц, в котором операция поэлементногоумножения заменена на нахождение минимума, а суммирование - на нахождениемаксимума. Аналогично определяются операции минимаксной имаксимультипликативной композиции. Композиция играет ключевую роль в нечеткомлогическом выводе.

Пример 8.Заданы нечеткие отношения и . Тогда максминная ( ), минимаксная ( ) имаксимультипликативная ( ) композиции этих нечетких отношенийопределяются такими матрицами: ; ; .

Определение 42.Нечеткое отношение на называется транзитивным, если .Другими словами, для любой пары степень выполнения отношения должна быть неменьше степени выполнения отношения .

Определение 43.Транзитивным замыканием нечеткого отношения называется следующее отношение , где .

Нечеткая логика

Нечеткая логика это обобщение традиционной аристотелевой логики на случай, когда истинность рассматривается как лингвистическая переменная, принимающая значения типа: "очень истинно", "более-менее истинно", "не очень ложно" и т.п. Указанные лингвистические значения представляются нечеткими множествами.