Составление высказываний по формулам

Высказывание – это повествовательное предложение, относительно которого имеет смысл утверждать, что оно является истинным либо ложным. Таким образом, отличительной особенностью высказываний является возможность принимать одно из двух значений: истина – 1, ложь – 0. Эти значения называются истинностными значениями.

Например, высказывание «Москва — сто­лица Российской Федерации» является истинным, а высказывание «Вол­га впадает в Черное море» — ложным.

Примеры высказываний:

1. Москва – столица России.

2. Число 27 является простым.

3. Волга впадает в Каспийское море.

Высказывания 1 и 3 являются истинными. Высказывание 2 – ложным , потому что число 27 составное 27=3*3*3.

Следующие предложения высказываниями не являются:

· Давай пойдем гулять.

· .

· .

· Который час?

Итак, отличительным признаком высказывания является свойство быть истинным или ложным, последние четыре предложения этим свойством не обладают.

С помощью высказываний устанавливаются свойства, взаимосвязи между объектами. Высказывание истинно, если оно адекватно отображает эту связь, в противном случае оно ложно.

Примеры высказываний:

1. Сегодня светит солнце.

2. Трава растет.

В алгебре логики логические связки и соответствующие им логические операции имеют специальные названия и обозначаются следующим образом:

Логическая связка	Название логической операции	Обозначения
не	Отрицание, инверсия	Ø,
и, а, но	Конъюнкция, логическое умножение	&, • , Ù
или	Дизъюнкция, логическое сложение	V, +
если ..., то	Импликация, следование	Þ,®
тогда и только тогда, когда	эквивалентность, эквиваленция, равнозначность	Û, ~, º, «
Если несколько простых высказываний объединены в одно с помощью логических операций, то такое высказывание называется сложным.

Сложное высказывание	Составляющие простые высказывания	Форма сложного высказывания
Е = Идёт дождь, а у меня нет зонта	А=Идёт дождь В = У меня есть зонт	Е = А L ØВ
Е = Когда живётся весело, то и работа спорится	А = Живётся весело В = Работа спорится	Е = А Þ В
Е = Идёт налево - песнь заводит, направо - сказку говорит	А = Идёт налево В = Идёт направо С = Песнь заводит D = Сказку говорит	E=(A Þ C)V(B Þ D)

Мы всегда исходим из того, что для любого простого высказывания определено (известно), является ли оно истинным или ложным. По форме сложного высказывания и по таблицам истинности входящих в него логических операций всегда можно определить, истинное оно или ложное.

Реальную задачу, как правило, мы получаем в виде текста на естественном языке. И прежде, чем приступить к ее решению, мы должны выделить простые высказывания, отношения (связи) между ними и перевести их на язык формул (формализовать условие задачи, определить форму). Разберём примеры формализации сложных высказываний.

Примеры записи сложных высказываний с помощью обозначения логических связок:

1. "Быть иль не быть - вот в чем вопрос." (В. Шекспир) А V A <=> В

2. "Если хочешь быть красивым, поступи в гусары." (К. Прутков) А => В

Пример 1.

Дано сложное высказывание: «Если выглянет солнце, то станет тепло». Требуется записать его в виде логической формулы.

Решение. Обозначим через А простое высказывание «выглянет солнце», а через В - «станет тепло». Тогда логической формулой этого сложного высказывания будет импликация: A ® B.

Пример 2.

1. Даны высказывания
A – Идет дождь.
B – Прогулка отменяется.
C – Я вымокну.
D – Я останусь дома.

а) Запишите сложное высказывание на языке алгебры логики:
Я не вымокну, если на улице нет дождя или если прогулка отменяется и я останусь дома.

б) Переведите следующее сложное высказывание на русский язык:
А и (не В или не D) → C
Решение:

а) Первая часть предложения «Я не вымокну» соответствует высказыванию D, «на улице нет дождя» соответствует отрицанию высказывания А, «прогулка отменяется» – событию В, «я останусь дома» – событию С.

Учтем связки, которые соответствуют логическим операциям: если..., то.. – импликация, или – дизъюнкция, и – конъюнкция.

Тогда получим следующую логическую формулу:

б) Подставим вместо высказываний A, B, D, C соответствующие им части предложения, взяв вместо D и B их отрицания. Логическая связка импликация соответствует – если, то.

Согласовывая все части предложения получаем: Идет дождь, и если прогулка не отменяется или я не останусь дома, то я вымокну.