Линейные операции над векторами в координатной форме

1. При умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр.

Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru

2. При сложении (вычитании) векторов их одноименные координаты складываются (вычитаются).

Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru

3. Векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их одноименные координаты пропорциональны.

Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru

Зная проекции вектора Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru , можно легко найти выражение для модуля вектора. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда можно записать

Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru ,

т.е.

Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru (4)

Модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат

Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru (5)

Найдем координаты вектора Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru , если известны координаты точек А(х11;z1) и В(х22;z2) (рис.5).

Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru

Рис. 5

Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru

= Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru .

Следовательно, координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала

Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru .

Пример 1.

По данным векторам Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru и Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru найти координаты вектора Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru .

Решение:

Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru

Вектор Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru . Координаты вектора Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru .

Пример 2.

Проверить коллинеарность векторов Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru и Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru .

Решение:

Если векторы Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru и Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru коллинеарны, то должно выполняться условие Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru = Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru или в координатной форме

Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru .

Для заданных векторов Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru .

Следовательно, векторы Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru и Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru коллинеарны.

При этом Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru и Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru , то есть модуль вектора Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru равен Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru модуля Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru . Знак «–» указывает, что векторы направлены в противоположные стороны.

Направляющие косинусы

Пусть углы вектора Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru с осями ОX, ОY и ОZ соответственно равны α, β, γ. По свойству проекции вектора на ось, имеем

Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru (6)

Или Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru

Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru

Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru .

Числа Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru называются направляющими косинусами вектора Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru .

Подставив выражение (6) в равенство (4), получим

Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru .

Сократив на Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru , получим соотношение

Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru ,

т.е. сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.

Координатами единичного вектора Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru являются числа Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru , т.е. Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru .

Задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление, т.е. сам вектор.

Пример 3.

Проекции вектора Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru на оси координат равны ax=1, ay=–4, az=8. Найти длину вектора Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru , его направляющие косинусы.

Решение:

По формуле Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru имеем Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru .

Используя формулы

Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru , Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru , Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru

находим направляющие косинусы вектора

Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru

Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru

Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru .

Пример 4.

Найти равнодействующую двух сил Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru и Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru , модули которых равны F1 = 5, F2 = 7, угол между ними θ = 60°.

Решение:

Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru

По формуле Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru

находим Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru

Пример 5.

Даны два вектора: Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru и Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru . Найти проекции на координатные оси суммы и разности этих векторов.

Решение:

Составим сумму и разность этих векторов:

Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru

Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru

Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru

Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru

Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru

Пример 6.

Дан вектор. Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru Найти его проекцию aL на ось L, составляющую с координатными осями равные острые углы.

Решение:

По условию направляющие косинусы оси проекций между собой равны:

Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru

Но сумма квадратов направляющих косинусов какого-либо направления равна 1, а потому Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru

Так как в этой сумме все слагаемые между собой равны, то

Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru

Тогда Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru

Знак «+» перед корнем взят потому, что по условию углы λ, μ и ν – острые, а значит, косинусы их положительны.

Так как по условию ax = 2; ay = 5; az = 1, то по формуле

aL=axcos λ+cos μ+cosν

Получаем Линейные операции над векторами в координатной форме - student2.ru


Наши рекомендации