Векторы. Линейные операции над векторами.
Лекция №5-6
Векторы. Линейные операции над векторами.
Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов
Величины, которые характеризуются не только численным значением, но и направлением, называются векторными. Геометрически векторную величину изображают в виде вектора.
Вектором называется направленный отрезок.
Векторы обозначаются двумя прописными буквами со стрелкой над ними, например 
, или строчной латинской буквой 
. Точка А – начало вектора, точка В – конец вектора.
Длиной или модулем вектора называется расстояние между началом и концом вектора. Обозначение : 
или 
.
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным.
Векторы 
и 
называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых. Обозначение: 
.
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, сонаправлены и их длины равны.
Векторы 
и 
называются компланарными, если они лежат на одной или на параллельных плоскостях.
Линейные операции над векторами
1.Сложение векторов.
Суммой двух векторов и называется третий вектор 
, идущий из начала первого вектора в конец второго при условии, что второй вектор приложен к концу первого.
О
Построение суммы векторов таким методом называется правилом треугольника.
Существует другой способ построения суммы векторов – правило параллелограмма.
 |
О
2. Вычитание векторов.
Разностью двух векторов 
и 
называется вектор 
, который в сумме с вектором будет равен вектору :
если 
.
Чтобы вычесть из вектора вектор , нужно привести и к общему началу и построить вектор 
, начало которого совпадает с концом вектора (вычитаемое), конец совпадает с концом вектора (уменьшаемое)
3. Умножение вектора на число.
Произведением вектора на число 
называется вектор 
, коллинеарный вектору , длина которого равна произведению модулей 
, а направление совпадает с направлением вектора , если 
и противоположно направлению вектора , если 
 |  | ||||
 | |||||
Свойства линейных операций над векторами:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
Разложение вектора на компоненты
Рассмотрим тройку единичных векторов 
, 
, 
, направленных вдоль осей координат соответственно: вектор вдоль оси ОХ, вектор вдоль оси ОУ, вектор 
вдоль оси ОZ. Эти векторы направлены в положительную сторону осей координат.
Векторы , , называются ортами.
Выразим произвольный вектор через единичные вектора , , .
z
Аz
A
Ay y
Ax
Вектор может быть представлен в виде
Такое представление вектора в виде называется разложением вектора по базису , , .
Векторы 
, 
, 
принято называть компонентами вектора 
по базису , , .
Лекция №5-6
Векторы. Линейные операции над векторами.
Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов
Величины, которые характеризуются не только численным значением, но и направлением, называются векторными. Геометрически векторную величину изображают в виде вектора.
Вектором называется направленный отрезок.
Векторы обозначаются двумя прописными буквами со стрелкой над ними, например , или строчной латинской буквой . Точка А – начало вектора, точка В – конец вектора.
Длиной или модулем вектора называется расстояние между началом и концом вектора. Обозначение : или .
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным.
Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых. Обозначение: .
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, сонаправлены и их длины равны.
Векторы и называются компланарными, если они лежат на одной или на параллельных плоскостях.