Они состоят из одних и тех же элементов.

В этом смысле слово “множество” имеет слегка уничижительный оттенок: когда мы говорим множество, мы подчёркиваем своё сиюминутное равнодушие к какой бы то ни было организации его элементов.

Например, говоря, что прямая есть множество точек, мы даём основание предположить, что две прямые совпадают тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же точек. С другой стороны, мы обязуемся все взаимоотношения точек (расстояния между ними, их порядок на прямой и т. п.) рассматривать отдельно, не включая их в понятие прямой.

Элементы, в свою очередь, могут быть множествами, но постольку, поскольку они рассматриваются как элементы, они исполняют роль своего рода атомов, чья внутренняя жизнь игнорируется.

Множество можно представлять себе как воображаемый ящик, предназначенный для того, чтобы отделить элементы этого множества от прочих вещей. Соединение каких-то вещей в множество даёт возможность присвоить им общее имя и демонстрирует намерение рассматривать эти вещи как единую общность, не вдаваясь до поры до времени в их природу и отношения между собой.

Пустое множество

Итак, элемент не может быть без множества. А вот множество может быть без единого элемента. Имеется всего одно такое множество (поскольку множество определяется запасом своих элементов). Оно называется пустым и обозначается символом ∅.

Основные числовые множества

Наряду с ∅ имеются и другие уникальные множества, столь важные, что они получили свои собственные общепринятые названия и обозначения.

- множество всех натуральных чисел, т. е. 1, 2, 3, 4, 5,…

- множество всех целых чисел (как положительных целых, т. е. натуральных чисел, так и отрицательных и нуля).

- множество всех рациональных чисел (добавьте к целым числам числа, представимые дробями, т. е. такие, как, например, , ).

- множество всех вещественных чисел (полученное присоединением к множеству иррациональных чисел таких, как, например, и π = 3.14…).

- множество комплексных чисел.

Задание множества явным перечнем его элементов

Множество, заданное списком a, b,…, x своих элементов, обозначается символом

Другими словами, список объектов, заключенный в фигурные скобки, обозначает множество, элементы которого перечислены в этом списке.

Например, {1, 2, 123} – множество, состоящее из чисел 1, 2 и 123.

Формула {a, x,A} обозначает множество, состоящее из элементов a, x и A, какие бы объекты эти три буквы ни обозначали.

Примеры.

1. Что такое {∅}? Сколько элементов в этом множестве?

Множество {∅} состоит из одного элемента, каковым является пустое множество ∅. Конечно, сам этот элемент есть пустое множество, которое не содержит элементов, но множество {∅} состоит из единственного элемента ∅.

2. Нижеследующие формулы верны:

1)

2)

3) .

Множество, состоящее из одного элемента, так и называется одноэлементным.

3. Является ли множество {{∅}} одноэлементным?

Да, множество {{∅}} состоит из одного элемента, его единственным элементом является множество {∅}.

Заметьте, что множества {1, 2, 3} и {3, 2, 1, 2} равны, поскольку они состоят из одних и тех же элементов. На первый взгляд, список с повторениями никогда не может возникнуть естественным образом. Появляется даже соблазн на всякий случай запретить списки с повторениями в подобных обозначениях. Однако, в данном случае запрет этот не был бы разумным. Действительно, часто никто не может сказать, имеются в списке повторения или нет. Например, если элементы списка зависят от параметра, то при одних значениях параметра некоторые члены списка могут совпасть, тогда как при других значениях они окажутся различными.

4. Сколько элементов содержат следующие множества?

1) {1, 2, 1} – 2 элемента;

2) – 3 элемента;

3) – 1 элемент;

4) – 2 элемента;

5) – 2 элемента;

6) – 2 элемента;

7) – 1 элемент;

8) при – два элемента, если , и один элемент, если ;

Подмножества

Если каждый элемент множества A принадлежит и множеству B, то говорят, что A есть подмножество множества B и что B содержит множество A, а также пишут

A ⊂ B и B ⊃ A.

Знаки и называются символами включения.

Не случайно они напоминают знаки неравенства и :

Утверждение.

Пусть множество A состоит из a элементов, а множество B - из b элементов. Если A ⊂ B, то a < b.

Доказательство.

Что значит, что A состоит из a элементов? Это значит, что мы можем пересчитать элементы множества A, присваивая им номера 1, 2, 3, и т. д. и что последний элемент при этом получит номер a. Известно, что результат не зависит от порядка, в котором мы расположили элементы множества. (В действительности, можно развить теорию множеств, которая включала бы теорию счёта, где это доказывалось бы как одна из основных теорем. Но поскольку это не вызывает сомнений, мы опускаем доказательство.) Поэтому мы можем начать подсчёт элементов множества B с подсчёта элементов множества A. Пересчитав элементы множества A, мы продолжим подсчёт, если какие-то элементы множества B к этому моменту останутся не сосчитанными. Поэтому число элементов множества A не превосходит числа элементов множества B.

Пример.

Свойства включения

I. Рефлексивность включения.

A ⊂ A для любого множества A,