Численный метод расчета реакций упругих опор твердого тела

Алгоритм решения задач этого типа рассмотрен на примере. Пусть задана плоская система сил, действующих на балку, которая опирается на упругое основание (см. рис. 5.1).

Размеры элементов балки и места приложения силовых факторов P1 и P2 показаны на рисунке, причем P2 может меняться по направлению (второй вариант задачи).

Рис. 5.1. Твердое тело на упругом основании

Для решения задачи проведем координатные оси х и у, проходящие через т. А, заменим связи реакциями связей: Xa, Ya, Yc, Yb (реакцию шарнирной опоры на катках направим перпендикулярно опорной плоскости) и представим силовые и геометрические параметры в векторной форме:

Главный вектор и главный момент системы

Составим систему уравнений

Здесь главный вектор и главный момент с индексами 0,1 и 2 представляют проекции этих векторов на оси x, y и z. Составленная система шести уравнений включает 6 неизвестных, которые можно определить численным методом без нахождения аналитических выражений искомых неизвестных.

Пример расчета реакций упругих опор твердого тела в Mathcad

Зададим неизвестным первое приближение:

Составим и решим систему уравнений вычислительным блоком Given...Find

Выполним проверку правильности определения реакций в опорах.

Влияние изменяющейся нагрузки на реакции упругих опор тела

Если одна из сил, действующих на тело, меняется по направлению, то для определения реакций упругих опор необходимо выразить угол через дискретную переменную и решать систему уравнений следует в Mathcad численным методом, используя вычислительный блок - Given...FricFac... find. Изменения, внесенные в алгоритм решения, показанные ниже на примере.

Зададим неизвестным первое приближение:

Составим и решим систему уравнений блоком Given...FricFac... find.

Изобразим графически влияние наклона силы P2 на реакции в опорах.

Рис. 5.2 Влияние угла наклона силы P2 на реакции в опорах и параметры a0, b0.

Для проверки правильности решения (возможность допущения ошибки при составлении уравнений не исключаем!) составим проверочное уравнение моментов относительно новой точки системы. Если выбрать т. В, то момент всех сил и реакций в проекции на ось z, проходящую через т. В для любого дискретного угла наклона силы F2 будет иметь следующий вид:

Здесь суммарный момент относительно т. В с индексом 3 означаем момент всех сил и реакций, когда дискретное значение угла наклона силы F2 - a2=30° .

При любом значении угла наклона силы момент относительно т. В должен быть равен или стремиться к нулю, что и подтвердила проверка.