Определение монотонной функции
Пусть f:E ® R
Если для любых x1, x2 О E при x1<x2 выполняется f(x1)<f(x2) (f(x1)>f(x2)), то функция f(x) возрастающая (убывающая).
Если для любых x1, x2 О E при x1<x2 выполняется f(x1)Ј f(x2) (f(x1)і f(x2)), то функция f(x) неубывающая (невозрастающая).
56. Дать определение предела функции по Гейне и по Коши: Существует предел 
Предел функции по Гейне. Число 
называется пределом функции 
в точке 
, если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента 
, элементы которой отличны от , соответствующая последовательность 
сходится к числу .
Предел функции по Коши. Число называется пределом функции в точке , если для любого положительного числа 
найдётся положительное число 
, такое, что для всех значений аргумента 
, удовлетворяющих условию 
справедливо неравенство 
.
57. Дать определение по Гейне и по Коши: существует 
:
Определение левого предела по Гейне: Число называется левым пределом функции 
в точке , если для любой сходящейся к последовательности 
, элементы 
которой меньше , соответствующая последовательность 
сходится к .
Определение левого предела по Коши. Число называется левым пределом функции в точке , если для любого 
существует 
такое, что для всех , удовлетворяющих неравенствам 
выполняется неравенство .
65. Дать определения по Гейне и по Коши: существует 
По Гейне: число b называется приделом функции f(x) при х→∞ если для любой бесконечно большой последовательности {Xn} значение аргумента соответствует числовой последовательности {f(Xn)} сходится к числи b
По Коши: число b называется приделом функции f(x) при х→∞ если для любого ε>0 существует δ>0 такое что для всех значений аргумента, для которых lxl>δ выполняется равенство lf(x)-bl<ε
66. Дать определения по Гейне и по Коши: существует 
По Гейне: число b называется приделом функции f(x) при х→+∞ если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента Xn элементы которой больше нуля Xn>0 соответствует числовой последовательности {f(Xn)} сходится к числи b
По Коши: число b называется приделом функции f(x) при х→+∞ если для любого ε>0 существует δ>0 такое что для всех x, удовлетворяющих неравенство x>δ выполняется равенство lf(x)-bl<ε
67. Дать определения по Гейне и по Коши: существует 
По Гейне: число b называется приделом функции f(x) при х→-∞ если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента {Xn} элементы которой больше нуля Xn<0 соответствует числовой последовательности {f(Xn)} сходится к числи b
По Коши: число b называется приделом функции f(x) при х→-∞ если для любого ε>0 существует δ>0 такое что для всех x, удовлетворяющих неравенство x<-δ выполняется равенство lf(x)-bl<ε