Дифракция на двумерной решетке

Двумерная решетка представляет собой скрещенные перпендикулярно друг другу решетки с периодами и , причем часто . Пусть ось Х перпендикулярна щелям первой решетки. Ось Y – щелям второй, а ось Z направлена перпендикулярно плоскости двумерной решетки. Углы между падающими и дифрагированными лучами и осями Х, Y, Z обозначим, соответственно, через и . Очевидно, что - углы, дополняющие углы дифракции до 90^о (рис. 10.1). Пусть на двумерную решетку нормально падает плоская волна. Тогда условия возникновения главных максимумов для излучения с длиной волны l имеют вид:

(13.1)

Рис.13.1

Углы связаны между собой соотношением

(13.2)

Выражения (13.1) и (13.2) позволяют, при известных , и , определить углы , , характеризующие направление дифрагированного луча для максимумов того или иного порядка. Если в каждой решетке число щелей N₁ и N₂ достаточно велико, то максимумы будут очень острыми и в них сосредоточится практически вся световая энергия дифрагировавших волн. В результате на экране, расположенном за двумерной решеткой получится дифракционная картина в виде четких, симметрично расположенных световых пятен, каждому из которых соответствуют два целочисленных индекса и (рис. 13.2).

Рис. 13.2

Главные максимумы возникают только тогда, когда и одновременно , где и целые числа. В этом случае интенсивность света в данном направлении . Если только одно из этих чисел ( или ) целое, т.е. выполняется условие возникновения главного максимума лишь для одной из решеток, то его интенсивность оказывается много меньше.

Одна система максимумов (соответствующая условию ) располагается вдоль оси Х, а вторая ( ) – вдоль оси Y. В центре картины находится максимум нулевого порядка, который лежит в направлении

Если углы дифракции малы, координаты главных максимумов вдоль оси Х и вдоль оси Y определятся соответственно как:

(13.3)

где и

При больших расстояниях L от решетки до экрана, суперпозиция параллельных дифрагированных лучей осуществляется на экране и без собирающей линзы и выражения (13.3) примут вид:

(13.3а)

где и

Пусть волна падает на двумерную решетку наклонно (т.е. углы и отличны от ). Тогда условия возникновения главных максимумов примут вид:

(13.4 )

Общий характер дифракционной картины, в этом случае, останется прежним, изменятся лишь масштабы по осям Х и Y, наблюдаемой дифракционной картины.

Если решетки и взаимно не перпендикулярны, а составляют какой-либо угол между собой, положение максимумов будет зависеть от угла между штрихами решеток. Однако, нарушение строгой периодичности щелей (хаотическое их распределение) приводит к существенному изменению общей картины: наблюдаются симметричные размытые интерференционные кольца. Интенсивность наблюдаемых колец пропорциональна не квадрату числа щелей, а числу щелей. Таким образом, по расположению максимумов можно судить о величине периодов и и взаимной ориентации решеток.