Пример 4: Адиабатный процесс

p₁ = 10⁵ Па;

p₂ = 2·10⁵ Па;

V₁ = 3 м³;

V₂ = ?

Т₁ = ?

Т₂ = ?

L = ?

Q = ?

M = 2 кг;

μ = 28 кг/кмоль (N₂);

c_v^уд = 740 Дж/(кг·К);

c_р^уд = 1000 Дж/(кг·К).

Решение:

Напишем уравнение состояния для точки 1: p₁V₁ = (M/μ)RТ₁, откуда определим Т₁ = p₁V₁μ/(MR) = 10⁵·3·28/(2·8314) = 505К.

Определим показатель адиабаты (1.2.19) k = c_р^уд/c_v^уд = 1000/740 = 1,35.

Напишем уравнение адиабатного процесса (1.2.20): p₁V₁^k = p₂V₂^k, откуда определим V₂ = V₁(p₁/p₂)^1/k = 3(10⁵/2·10⁵)^1/1,35 = 1,80 м³.

Напишем уравнение состояния для точки 2: p₂V₂ = (M/μ)RТ₂, откуда определим Т₂ = p₂V₂μ/(M R) = 2·10⁵·1,8·28/(2 8314) = 606 К.

Изменение внутренней энергии в ходе адиабатного процесса (1.2.21) ΔU = M c_v^уд(Т₂ – Т₁) = 2·740(606 – 505) = 149480Дж.

Работа адиабатного процесса L = - ΔU = - 149480Дж.

Поскольку процесс адиабатный, тепло в нем не подводится и не отводится, внутренняя энергия увеличивается за счет совершения работы над рабочим телом: Q = 0.

Задачи для самостоятельного решения:

Выбор вариантов заданий проводить по таблице 1.1 и далее в таблице 1.2 - 1.5.

Условие задания

Над рабочим телом (идеальный газ) проводится термодинамический процесс. Для вариантов 11-15 (таблица 1.2) изотермический; 21- 25 (таблица 1.3) изохорной; 31- 35 (таблица 1.4) изобарный; 41- 45 (таблица 1.5) адиабатный.

Соответствующие параметры процессов как исходные, так и отыскиваемые приведены по вариантам в соответствующих таблицах.

Пояснения и вопросы к заданию 1

Вычислить параметры, помеченные в таблице знаком вопроса (?). Построить диаграмму процесса и ответить на вопросы.

1) Что означает положительное или отрицательное значение величин Q, L , ΔU и Н?

2) Что происходит с рабочим телом и окружающей средой при изменении их состояний?

3) Возможно ли в заданном процессе совершение работы рабочим телом и одновременное увеличение его температуры?

4) Если нет (вопрос 3), то как изменяются при этом энергетические состояния рабочего тела и окружающей среды?

Обозначения: р₁, р₂ , V₁, V₂, Т₁, Т₂ - начальные и конечные значения давления, объема и температуры газа; Q , L - теплота и работа процесса; ΔU = U₂ - U₁ , ΔН = Н₁ - Н₂ - изменения внутренней энергии и энтальпии газа; с_v, с_р - удельные изохорная и изобарная теплоемкости газа; М - масса газа; m- молярная масса; R = 8314 Дж/(кмоль^.К) - универсальная газовая постоянная.

Таблица 1.1 - Варианты для задания 1

	Последняя цифра зачетной книжки
вари-
анты

Таблица 1.2 - Варианты задания 1 для изотермического процесса

Параметры	ВАРИАНТЫ
Т , К		?			?
V1 , м3	2 . 10-3	2 . 10-3	2 . 10-3	2 . 10-3	4 . 10-3
V2 , м3	8 . 10-3	10 . 10-3	?	?	20 . 10-3
р1 , Па	?	?	20 . 105	40 . 105	?
р2 , Па	?	?	2 .105	2 . 105	?
L0 , Дж	?		?	?	?
Q , Дж	?	?	?	?
M , кг	2 . 10-3	2 . 10-3	?	?	20 . 10-3
μ, кг (газ)	2 (Н2)	2 (Н2)	32 (О2)	44 (СО2)	28 (СО)

Таблица 1.3 - Варианты задания 1 для изохорного процесса

Параметры	ВАРИАНТЫ
V, м3	25 . 10-3	?	100 . 10-3	70 . 10-3	20 . 10-3
Т1 , К	?
Т2 , К	?	?	?	?	?
р1 , Па	2 . 105	3 . 105	6 . 105	2,85 . 105	1,6 . 105
р2 , Па	10 . 105	9 . 105	?	?	?
Q , Дж	?		?	- 65000	?
U2 - U1 , Дж	?	?	?	?
M, кг	28 . 10-3	56 . 10-3	60 .. 10-3	64 . 10-3	?
μ,, кг
сv , Дж/кг. К (газ)	(N2)	(N2)	(Н2)	(О2)	(СО)

Таблица 1.4 - Варианты задания 1 для изобарного процесса

Параметры	ВАРИАНТЫ
Р = Р1 = Р2, Па	30 . 105	20 . 105	25 . 105	23 . 105	34 . 105
V1 , м3	3 . 10-3	2 . 10-3	10 . 10-3	9 . 10-3	3 . 10-3
V2 , м3	9 . 10-3	10 . 10-3	?	?	8 . 10-3
Т1 , К	?	?	?	?	?
Т2, К	?	?	?	?	?
Q, Дж	?	?	- 70000	?	?
U2 - U1, Дж	?	?	?	- 37420	?
Н2 - Н1, Дж	?	?	?	?	?
L , Дж	?	?	?	- 15000	?
M, кг	28 . 10-3	2 . 10-3	32 . 10-3	28 . 10-3	44 . 10-3
μ , кг
сv, Дж/кг.К ср,Дж/кг.К (газ)	(N2)	(Н2)	(О2)	(СО)	(СО2)

Таблица 1.5 - Варианты задания 1 для адиабатного процесса

Параметр	ВАРИАНТЫ
Т1 , К			?
Т2 , К	?			?	?
Р1 , Па	20 . 105	?	?	1,5 . 105	1 . 105
Р2 , Па	1,76 . 105	?	2 . 105	?	20 . 105
V1 , м3	?	1,6	?	1,0	3,0
V2 , м3	?	?	?	?	?
Q , кДж	?	?	?	?	?
L0, кДж	?	?	- 300	?	?
U, кДж	?	?	?		?
M , кг	1,0	1,0	1,0	?

Газ - азот (N₂). Молярная масса - 28кг. с_v = 740 Дж/кг^.К. с_р = 1000Дж/кг^.К

1.2.2. Метод термодинамических циклов

В примерахприведены количественные данные о некоторых параметрах состояний идеального газа, участвующего в качестве рабочего тела в циклах идеального теплового двигателя.

Состояния газа изменяются в циклах от начального (1) по маршруту:

1®2®3®4®1 или 1®2®3®4®5 (цикл Тринклера).

Необходимо:

1) Вычислить все параметры цикла, не заданные в таблицах.

2) Построить диаграммы р =j(V) схематически для реального и количественно для теоретического циклов.

3) Описать особенности реальных процессов, происходящих в соответствующем данному циклу 4-х тактном двигателе.

4) Указать наименование (согласно принятым в литературе) частных термодинамических процессов, составляющих цикл.

5) Рассчитать количество теплоты, полученной рабочим телом от нагревателя (Q_н) и отданной холодильнику (Q_х).

6) Вычислить полезную работу цикла (L₀), термический коэффициент полезного действия цикла (h), среднее давление цикла (p₀), степень сжатия (e), степень повышения давления (l), степень предварительного расширения (цикл Тринклера - r).

7) Приводя данные о рассчитанных величинах поясните их смысловое и количественное содержание.

8) Как необходимо изменить параметры заданного цикла, чтобы повысить его КПД и среднее давление?

Обозначения: Р_i, Т_i, V_i - давление, температура и объем газа в соответствующих состояниях; Q_н , Q_х – соответственно теплоты - полученная от нагревателя и отданная холодильнику; Q₁, Q₂ - теплоты полученные рабочим телом в цикле Тринклера на участках: 2®3 и 3®4; L₀ - полезная работа цикла;
p₀ - среднее давление цикла; V_h - объем цилиндра от НМТ до ВМТ; e = V₁/V₂ - степень сжатия; l = Р₃/Р₂ - степень повышения давления; r = V₃/V₂ - степень предварительного расширения (цикл Тринклера); М - масса газа; m - молярная масса газа; с_v , с_р - удельные изохорическая и изобарическая теплоемкости газа; k = с_р/с_v - показатель адиабаты; R = 8314 Дж/кмоль^.К – универсальная газовая постоянная.

Во всех вариантах в качестве рабочего тела рассматривать воздух.

Принять:

M = 1,0 кг ; μ = 29 кг ; с_v = 716 Дж/ кг^.К ; с_р = 1024 Дж/кг^.К.

Пример 1: Цикл Карно

р₁ = 1,1·10⁵ Па;

V ₁ = ?;

Т₁ = 300 К;

p₂ = ?

V₂ = ?

T₂ = ?

p₃ = 40·10⁵ Па;

V₃ = ?

T₃ = 700 К;

P₄ = ?

V₄ = ?

T₄ = ?

Q_н = ?

Q_х = ?

L₀ = ?

р₀= ?

h = ?

Решение:

Цикл состоит из двух изотермических (1®2 и 3®4) и двух адиабатных процессов (2®3 и 4®1) .

Напишем уравнение состояния для точки 1: p₁·V₁ = (M/μ)RТ₁, откуда определим V₁ = (M/p₁μ) RТ₁= (1,0/1,1·10⁵×29)8314·300 = 0,78 м³.

Поскольку процессы 1®2 и 3®4 протекают при постоянных температурах: Т₂ = Т₁ = 300 К; Т₄ = Т₃ = 700 К.

Напишем уравнение состояния для точки 3: p₃V₃ = (M/μ)RТ₃, откуда определим V₃ = (M/p₃μ) RТ₃= (1,0/40·10⁵×29)8314·700 = 0,050 м³.

Напишем уравнение адиабатного процесса 2®3: Т₂V₂^k-1 = Т₃V₃^k-1, и определим:

k = с_р/с_v = 1024/716 = 1,43;

V₂ = V₃(T₃/T₂)^1/(k-1) = 0,050·(700/300)^1/(1,43-1) = 0,36 м³;

Напишем уравнение изотермического процесса 1®2: р₁V₁ = р₂V₂, и определим:

р₂ = р₁(V₁/V₂) = 1,1·10⁵ (0,782/0,360) = 2,36·10⁵ Па.

Напишем уравнение адиабатного процесса 4®1: Т₄V₄^k-1 = Т₁V₁^k-1, и определим:

V₄ = V₁(T₁/T₄)^1/(k-1) = 0,782·(300/700)^1/(1,43-1) = 0,11 м³;

Напишем уравнение изотермического процесса 3®4: р₃V₃ = р₄V₄, и определим:

Р₄ = р₃(V₃/V₄) = 40·10⁵ (0,050/0,11) = 18,42·10⁵ Па.

Количество подведенного тепла в цикле Карно определяется по формуле:

Q_н = (М/m)RT₃ln(V₄/V₃) = (1,0/29)8314×700ln(0,11/0,050) = 155596 Дж.

Количество отведенного тепла определяется по формуле (2.1.2):

Q_х = (М/m)RT₁ln(V₂/V₁) = (1,0/29)8314×300ln(0,36/0,78) = - 66720 Дж.

Работа цикла (2.1.3):

L₀= L_3®4 + L_1®2 = Q_н + Q_х = 155596 + (- 66720) = 88876 Дж.

Коэффициент полезного действия:

.

Для проверки определим коэффициент полезного действия двигателя по формуле (2.1.5):

Пример 2: Цикл Отто

р₁ = 10⁵ Па;

V ₁ = ?;

Т₁ = 373 К;

p₂ = ?

V₂ = ?

T₂ = ?

p₃ = ?

V₃ = ?

T₃ = ?

P₄ = ?

V₄ = ?

T₄ = ?

V_h = ?

Q_н = ?

Q_х = ?

L₀ = ?

р₀ = ?

h = ?

e = 6,0;

l = 1,6;

Решение:

Цикл состоит из двух адиабатных процессов (1®2 и 3®4) и двух изохорных (2®3 и 4®1) . Характеристики цикла: e = V₁/ V₂; l = р₃/р₂.

Напишем уравнение состояния для точки 1: p₁·V₁ = (M/μ)RТ₁, откуда определимV₁=(M/p₁μ)RТ₁=(1,0/10⁵×29)8314·373 = 1,07 м³.

По степени сжатия e определим V₂ = V₁/e = 1,07/6,0 = 0,18 м³.

Поскольку процессы 2®3 и 4®1 протекают при постоянных объемах

V₃ = V₂ = 0,18 м³; V₄ = V₁ = 1,07 м³.

Напишем уравнение адиабатного процесса 1®2: p₁V₁^k = p₂V₂^k, и определим:

k = с_р/с_v = 1024/716 = 1,43;

p₂ = p₁(V₁/V₂)^k = 10⁵·6^1,43 = 12,96·10⁵ Па;

Напишем уравнение адиабатного процесса 1®2 в ином виде: Т₁V₁^k-1 = Т₂V₂^k-1, и определим:

Т₂ = Т₁ (V₁/V₂)^k-1 = 373·6^1,43-1 = 806 К.

Используя степень повышения давления, определим р₃ = lр₂ = 1,6×12,96·10⁵ = 20,74·10⁵ Па.

Напишем уравнение изохорного процесса 2®3: р₂/Т₂ = р₃/Т₃, и определим:

Т₃ = (р₃/р₂)Т₂ = l Т₂ = 1,6×806 = 1290 К.

Используя уравнения адиабатного процесса 3®4, определим:

р₄ = p₃(V₃/V₄)^k = 20,74·10⁵(0,18/1,07)^1,43 = 1,60·10⁵ Па;

Т₄ = Т₃ (V₃/V₄)^k-1 = 1290(0,18/1,07)^1,43-1 = 597 К.

Рабочий объем цилиндра (2.2.2):

V_h = V₁ -V₂ = 1,07 – 0,18 = 0,89 м³.

Количество подведенного тепла в цикле Отто определяется по формул):

Q_н = Мс_v(Т₃ – Т₂) = 1,0×716(1290 – 806) = 346544 Дж.

Количество отведенного тепла определяется по формуле:

Q_х = Мс_v(Т₄ – Т₁) = 1,0×716(597 – 373) = 160384 Дж.

Работа цикла (2.2.9):

L₀= L_3®4 + L_1®2 = + = = 186350 Дж.

Или:

L₀ = Q_н - Q_н = 346544 – 160384 = 186160 = Дж.

Среднее давление цикла (2.2.8):

р₀= L₀/V_h = 186160/0,89 = 191574 Па или 1,9×10⁵ Па.

Для проверки определим среднее давление цикла по формуле:

Па.

Коэффициент полезного действия двигателя (2.2.6):

.

Возможно определение коэффициента полезного действия двигателя по формуле:

Указание: При построении диаграммы реального цикла (схематически показана тонкими линиями) следует учесть, что реальный цикл по существу является разомкнутым. В нем присутствует процесс впуска (0®1) и выпуска (4’®0).

В реальном цикле процессы сжатия и расширения протекают при наличии теплообмена между газом и стенками цилиндра, в результате теплообмена эти процессы протекают по политропам с переменными показателями. Из-за опережения зажигания процесс сгорания начинается на линии сжатия, характеризуется конечными скоростями и заканчивается на линии расширения.

Из-за открытия выпускного клапана ранее достижения поршнем нижней мертвой точки давление в цилиндре уменьшается быстрее, чем в идеальном (т. 4’).

Пример 3: Цикл Дизеля

р₁ = 0,9·10⁵ Па;

V ₁ = ?

Т₁ = 320 К;

p₂ = ?

V₂ = ?

T₂ = ?

p₃ = ?

V₃ = ?

T₃ = ?

р₄ = ?

V₄ = ?

T₄ = ?

V_h = ?

Q_н = ?

Q_х = ?

L₀ = ?

р₀ = ?

h = ?

e = 12,0;

ρ = 2,0;

Решение:

Цикл состоит из двух адиабатных процессов (1®2 и 3®4), одного изобарного (2®3) и одного изохорного (4®1). Характеристики цикла: e = V₁/ V₂; ρ = V₃/V₂.

Напишем уравнение состояния для точки 1: p₁·V₁ = (M/μ)RТ₁, откуда определим V₁ = (M/p₁μ) RТ₁= (1,0/0,9·10⁵×29)8314·320 = 1,02 м³.

По степени сжатия e определим V₂ = V₁/e = 1,019/12,0 = 0,085 м³.

Напишем уравнение адиабатного процесса 1®2: p₁V₁^k = p₂V₂^k, и определим:

k = с_р/с_v = 1024/716 = 1,43;

p₂ = p₁(V₁/V₂)^k = 0,9·10⁵·12^1,43 = 31,44·10⁵ Па;

Напишем уравнение адиабатного процесса 1®2 в ином виде: Т₁V₁^k-1 = Т₂V₂^k-1, и определим:

Т₂ = Т₁ (V₁/V₂)^k-1 = 320·12^1,43-1 = 932 К.

Поскольку процесс 2®3 протекает при постоянном давлении

р₃ = р₂ = 31,4·10⁵ Па.

Используя степень предварительного расширения, определим V₃ = ρV₂ = 2,0×0,085 = 0,17 м³.

Напишем уравнение изобарного процесса 2®3: Т₂/V₂ = T₃/V₃, и определим:

Т₃ = (V₃/V₂)Т₂ = ρ Т₂ = 2,0×932 = 1864 К.

Поскольку процесс 4®1 протекает при постоянном объеме

V₄ = V₁ = 1,02 м³.

Используя уравнения адиабатного процесса 3®4, определим:

р₄ = p₃(V₃/V₄)^k = 31,44·10⁵(0,17/1,02)^1,43 = 2,428·10⁵ Па;

Т₄ = Т₃ (V₃/V₄)^k-1 = 1864(0,17/1,02)^1,43-1 = 863 К.

Рабочий объем цилиндра:

V_h = V₁ -V₂ = 1,02 – 0,085 = 0,93 м³.

Тепло в цикле Дизеля подводится в ходе изобарного процесса 2®3. Количество подведенного тепла определяется по формуле:

Q_н = Мс_р(Т₃ – Т₂) = 1,0×1024(1864 – 932) = 950460 Дж.

Тепло в цикле Дизеля отводится в ходе изохорного процесса 4®1. Количество отведенного тепла определяется по формуле:

Q_х = Мс_v(Т₁ – Т₄) = 1,0×716(320–863) = - 388788 Дж.

Работа цикла:

L₀= L_2®3 + L_3®4 + L_1®2 = р₂(V₃ – V₂)+( + = 31,44·10⁵(0,170 – 0,085) + = 561672 Дж.

Или по формуле :

Q_н – Q_х = 950460 – 388788 = 561672 = Дж.

Определим среднее давление цикла по формуле:

Коэффициент полезного действия (2.3.3):

.

Указание: При построении диаграммы реального цикла (схематически показан тонкими линиями) следует учесть, что из-за опережения подачи топлива процесс сгорания начинается на линии сжатия, характеризуется переменными скоростями: сначала подвод тепла интенсивнее, затем - медленнее.

Из-за открытия выпускного клапана ранее достижения поршнем нижней мертвой точки аналогично ранее рассмотренному циклу Отто давление в цилиндре уменьшается быстрее, чем в идеальном (т. 4’).